Mi a geometriai valószínűség. Egy esemény valószínűségének geometriai meghatározása. A valószínűség klasszikus meghatározása

Bevezetés

2010. július végén, augusztusban és szeptember elején nehéz tűzhelyzet alakult ki Oroszországban a sorozatos tűzesetek miatt, amelyeket szmog és füst kísért a városokban, valamint áldozatok és számos veszteség. Így 2010. augusztus 7-én 53 ember halt meg, több mint 1200 ház pusztult el. A tüzek területe több mint 500 ezer hektár volt. A tűz elleni harcba minden erőt bevetettek, és természetesen a légi felszereléseket, amelyek lehetővé tették a földön nehezen vagy egyáltalán nem megközelíthető területek oltását. Egy kérdés foglalkoztatott: mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vízi „lövedék” eltalálja a kijelölt helyet, miközben a gép nagy sebességgel halad, alatta pedig erdők, mezők pislákolnak, mint egy óvatlan művész ecsetejéből? Vagy csak az intuícióra és a pilóta tapasztalataira hagyatkozhatunk?

Kiderült, hogy létezik egy egész tudomány, amely egy esemény bekövetkezésének valószínűségének megállapításával foglalkozik. Sőt, az egyik szakasza a geometriai valószínűségnek van szentelve. Úgy döntöttem, hogy mélyebben megvizsgálom a kérdést, hogy válaszoljak a saját kérdésemre.

Probléma: Használható-e geometriai valószínűség gyakorlati problémák megoldására?

A munka célja: a matematika "geometriai valószínűség" szakaszának tanulmányozása és a megszerzett ismeretek alkalmazása a feladat megoldására.

Feladatok:

Megismerni a valószínűségelmélet, mint tudomány kialakulásának történetét, és különösen annak geometriai valószínűségről szóló részét;

Tanulmányozni az elméletet a témában;

Fontolja meg a tipikus feladatokat és azok megoldásának fő módjait;

A megszerzett ismereteket a gyakorlatban alkalmazni.

Megoldási módszerek:

A téma szakirodalmának tanulmányozása;

Anyagelemzés;

Feladat kiválasztása különféle típusokés nehézségi szinteket

A geometriai valószínűség megállapítására szolgáló feladatok megoldási módszereinek megismerése;

Gyakorlati problémák megoldására készségek alkalmazása;

A kapott adatok szintézise.

Fő rész

1. Információk a történelemből

A 17. században az emberek megpróbálták megtalálni a mintát, vagy meghatározni egy esemény kedvező kimenetelének számát. G. Cardano, N. Tartaglia olasz tudósok 16. századi első munkái után az ilyen problémákat B. Pascal és P. Fermat francia matematikusok vizsgálták. A kísérleteket kockákon végezték, és úgy tervezték, hogy előre jelezzék a nyereményeket. Cardano önéletrajzából ismert, hogy egy időben szenvedélyes játékos volt. Tartagliával együtt számba vették a pontok kidobásának különböző módjait, és táblázatot állítottak össze, amelyet később Pascal (más formában) megismételt. Háromszög formát adott neki, és nyilvánosságra hozta (Traktátum az aritmetikai háromszögről, 1654 körül).

A tudósok által felvetett és mérlegelt kérdések hatására ugyanezen problémák megoldása is megvalósult. Ugyanakkor nem ismerte Pascal és Fermat levelezését, így egyedül találta ki a megoldási technikát. A valószínűségszámítás alapfogalmait ismertető munkája ben jelent meg papíralapú húsz évvel korábban) Pascal és Fermat leveleinek kiadásai).

A valószínűségelmélethez jelentős mértékben hozzájárult: bebizonyította független próbák legegyszerűbb esetben. Az első félidőbena valószínűségszámítást kezdik alkalmazni a megfigyelési hibák elemzésére;Laplace És Poisson bebizonyította az első határtételeket. A második félidőbena fő hozzájárulást az orosz tudósok adták, A. A. MarkovÉs . Jelenleg ez bebizonyosodott, , és kidolgozott egy elméletet is. Modern megjelenés a valószínűségelmélet köszönhetően kapotty és A valószínűségszámítás alapfogalmai (1936) című könyve.

Ennek eredményeként a valószínűségelmélet, amely egykor a játékból alakult ki, szigorú matematikai formát kapott, és végül úgy fogták fel, mint egy.

2. Alapvető elméleti információk

Valószínűségi elmélet- fejezet matematika tanul minták véletlenszerű jelenségek : , , tulajdonságaik és a rajtuk végzett műveletek.

Valószínűség a kedvező kimenetelek számának aránya az egyenlően valószínű kimenetelek számához viszonyítva.

A valószínűséget is A véletlenszerű esemény A az a P(A), amelyhez közeledik ennek az eseménynek a relatív gyakorisága egy hosszú kísérletsorozatban.

Bármely esemény valószínűsége nulla és egy között van. A valószínűség nulla, ha egyáltalán nincsenek kedvező kimenetelek (lehetetlen esemény), és egy, ha minden eredmény kedvező (bizonyos esemény).

Egy véletlen A esemény valószínűségének meghatározásához valamilyen kísérlet során:

keresse meg ennek a tapasztalatnak az összes lehetséges kimenetelének N számát;
keresse meg a tapasztalat azon kimeneteleinek N(A) számát, amelyekben az A esemény bekövetkezik;
keresse meg az N(A)/N hányadost; egyenlő lesz az A esemény valószínűségével.

Néha azonban végtelen számú kimenetelű kísérletek vannak. Ez a helyzet bizonyos geometriai problémákban merül fel, amelyek egy egyenes, sík vagy térbeli pont véletlenszerű kiválasztásával kapcsolatosak. Ebben az esetben geometriai valószínűségről beszélünk.

geometriai valószínűség Az A esemény, amely a B ponthalmaz egy részhalmaza egy egyenesen, síkon vagy térben - ez ezen objektumok mértékeinek aránya.

1. feladat : Határozza meg annak valószínűségét, hogy az X pont közelebb van az N ponthoz, mint az M ponthoz.

Megoldás: legyen az O pont az MN szakasz felezőpontja. Eseményünk akkor következik be, amikor az X pont az ON szakaszon belül van.

Akkor .

Válasz: 0,5

Így a valószínűség a két szakasz hosszának arányaként számítható ki.

2. Válasszunk földrajzi térkép véletlenszerű világpont. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a pont Oroszországban lesz? Nyilvánvalóan a kérdés megválaszolásához tudnia kell, hogy a térkép teljes területének melyik része Oroszország területe. E két terület aránya adja meg a kívánt valószínűséget.

P(A) = S(A)/S(B) ahol P a valószínűség és S a terület.

2. feladat : egy téglalap alakú paralelepipedon belsejében, melynek méretei 4, 6, 10 cm, véletlenszerűen kiválasztunk egy M pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy egy adott kockán belül lesz, melynek éle 3 cm.

Megoldás: Legyen az E esemény egy pont egy kockán belül, amelynek éle egyenlő 3 cm. Feltételezzük, hogy a teszt eredménye egyenletesen oszlik el. Ekkor az E esemény bekövetkezésének valószínűsége arányos ennek a kockának a mértékével és egyenlő P (E) = U kuba / u paralelepipedon. De a kocka térfogata 27 cm 3 , a paralelepipedon térfogata pedig 240 cm 3 . Ezért Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0,113

Válasz: 0,113

! Gyakori hiba a geometriai valószínűséggel kapcsolatos problémák megoldása során - a méretek eltérése. A geometriai valószínűség kiszámításakor gyakran a hosszt területtel vagy területtel osztják a térfogattal. Ilyen esetekben célszerű ellenőrizni a kapott képletet a „dimenziósság” valószínűségére.

3. Feladatok a geometriai valószínűség meghatározásához

3. feladat : véletlenszerűen bedobunk egy pontot egy olyan négyzetbe, amelynek oldala 1. A kérdés az, hogy mekkora a valószínűsége annak az eseménynek, hogy ettől a ponttól a négyzet legközelebbi oldaláig a távolság legfeljebb? (1. ábra)

Megoldás: a pont legfeljebb annyival távolodik el a négyzet határától, ha a belső négyzethez tartozik, amelynek oldalai egyenlők 1 - 2* = .

A belső és külső négyzetek (G) közötti különbséget alkotó ábra területének meghatározásához ki kell vonni a belső négyzet területét oldallal..

Ekkor annak a valószínűsége, hogy a pont eltalálja az ábrát G egyenlő

Válasz: 0,75

4. feladat: az egységnyi intervallumot két véletlenszerű pont három részre osztja. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kapott szakaszokból háromszög állítható elő?

Megoldás: meg kell találni annak a valószínűségét, hogy egyik szegmens sem nagyobb, mint a másik kettő összege. Ahhoz, hogy három szakaszból háromszöget építsünk, a szakaszokat ábrázoló pontnak a háromszög belsejében kell elhelyezkednie, amelyet a háromszög szemközti oldalainak felezőpontjainak összekapcsolásával kapunk (2. ábra). Területe egy nagy háromszög egynegyedével egyenlő, ezért a valószínűsége egynegyed.

Válasz: 0,25

5. feladat: két diák megegyezett, hogy 12 és 13 óra között találkoznak egy meghatározott helyen. Az elsőként érkező személy legfeljebb 20 percet vár még, majd elmegy. Határozza meg a találkozó valószínűségét.

Megoldás: legyen x - az első tanuló érkezési ideje, y - a második tanuló érkezési ideje. Ezután x, y € (meghatározva, hogy a találkozóra 12 és 13 óra között kerül sor, azaz 60 perces időintervallumban) - beállítja a G területet (3. ábra). |x-y| ≤ 20 (meghatározva, hogy az elsőként érkező tanuló legfeljebb 20 percet vár a másodikra) - meghatározza a g területet. Ekkor az egyenlőtlenségek által meghatározott területek így fognak kinézni (2. ábra). A valószínűség két g és G régió területének arányaként kereshető. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Válasz: 5/9

6. feladat: a KRESZ szerint a gyalogos meg nem határozott helyen kelhet át az utcán, ha látótávolságon belül nincs gyalogátkelőhely. Mirgorod városában a Solnechnaya utcai gyalogátkelőhelyek közötti távolság 1 km. Egy gyalogos átmegy a Solnechnaya utcán valahol két átkelőhely között. Tőle legfeljebb 100 m-re láthatja az átkelő táblát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a gyalogos nem sérti meg a szabályokat.

Megoldás: használja a geometriai módszert. A számegyenest úgy rendezzük el, hogy az utca kereszteződések közötti szakasza egy szakasz legyen. Hagyja, hogy egy gyalogos X koordinátával közelítse meg az utcát. A gyalogos nem sérti meg a szabályokat, ha az egyes átkelőhelyektől 0,1 km-nél nagyobb távolságra van, pl. 0.1 .

Válasz: 0.8

4. Problémafeladat

7. feladat: az egyik erdészetben Brjanszki régió, ami egy téglalap a*b hektár, tűz ütött ki. Az erdőnek azt a részét, amely egy r sugarú kör, elnyeli a tűz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az erdő felett repülő repülőgép által kipermetezett folyadék a tűz területére esik.

Megoldás: Az erdő területe a*b, az égő területe a r2. Ekkor Р(А) = r 2 / a*b

Válasz: r 2 / a*b

Így a valószínűségelmélet megismerése segített a probléma megoldásában. A 7. feladat összeállítása és megoldása után elmondhatom, hogy sok lehetőség található praktikus alkalmazás geometriai valószínűség.

Következtetés

Az elvégzett munka eredményeként a matematika egy számomra új szakaszát, "geometriai valószínűséget" tanultam, különféle irodalmi források megismerésével, információk elemzésével és közvetlenül problémamegoldással. A megszerzett tudást a számomra érdekes probléma megoldására alkalmaztam. A jövőben folytathatja ennek a témának a tanulmányozását, mert. számos magasabb szintű bonyolultságú feladat van, például a "Sylvester's Problem".

Ennek a munkának egyes aspektusai felhasználhatók a matematikai GIA-ra való felkészülésre, a „Geometriai valószínűség” témában végzett tanórán kívüli tevékenységekre, az olimpiákra való felkészülésre. Kutatás világos példa arra, hogy a szabványos tankönyv fejezeteiben nem kellően részletesen tárgyalt témák mélyebb tanulmányozása nemcsak érdekes és informatív lehet, hanem gyakorlati problémák vagy nem szabványos kérdések megoldására is szolgálhat.

Irodalom

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev "Valószínűség és statisztika a középiskolai matematika során" - Moszkva, "Pedagógiai Egyetem" Szeptember elseje ", 2005
M. Kendal, P. Moran "Geometriai valószínűségek" - Moszkva, "Nauka", 1972
L. V. Kuznyecova, S. B. Szuvorova, E. A. Bunimovics, T. V. Kolesnikova, L. O. Roslova – „Algebra. Feladatok gyűjteménye az állami végső minősítésre való felkészüléshez a 9. osztályban "- Moszkva", Felvilágosodás ", 2011
A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. profilszint. Tankönyv, 1. rész. 11. évfolyam "- Moszkva," Mnemozina ", 2009
A.P. Savin "Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára" - Moszkva, "Pedagógia", 1989
Z.A. Skopets "További fejezetek a matematika során" - Moszkva, "Felvilágosodás", 1974
L.A. Trofimova „A „geometriai valószínűség” vázlata
A. Shen "Valószínűség: példák és feladatok" - Moszkva, "MTsNMO Kiadó", 2007
http://www.historydata.ru

Alkalmazás

8. feladat: két pontot véletlenszerűen választunk egy R sugarú körön. Mennyi a valószínűsége, hogy a köztük lévő távolság kisebb lesz, mint R?

Megoldás: Az R-nél kisebb távolság azt jelenti, hogy a két pontot összekötő húrnak kisebbnek kell lennie, mint R, vagy kisebbnek kell lennie, mint a beírt hatszög oldala. A 72˚-os középponti szög ismeretében megkapjuk a két pont közé bezárt ív hosszát, ha a húr kisebb, mint a sugár. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0,2

Válasz: 0.2

9. feladat: egy l hosszúságú AB szakaszon egymástól függetlenül véletlenszerűen választunk ki két M és N pontot Mekkora a valószínűsége annak, hogy M pont közelebb lesz az A ponthoz, mint az N pont?

Megoldás: legyen AM = x, AN = y. A vizsgált eseménynek csak azok a pontok kedveznek, amelyek teljesítik az y>x feltételt. A vizsgált eseménynek kedvezõ összes lehetséges teszteredmény halmazát geometriailag az árnyékolt háromszög pontjai ábrázolják, mivel ennek a háromszögnek az összes pontjának koordinátáit az y>x összefüggés kapcsolja össze. Ezért a kívánt valószínűség 0,5.

Válasz: 0,5

10. feladat: Az X pontot véletlenszerűen választjuk ki az ABC háromszögből, és határozzuk meg annak valószínűségét, hogy olyan háromszöghez tartozik, amelynek csúcsai a háromszög oldalainak felezőpontjai (4. ábra).

Megoldás: a háromszög középvonalai 4 egyenlő területű háromszögre osztják. Eszközök,

Annak a valószínűsége, hogy az X pont a KMN háromszöghez tartozik:

Válasz: 0,25

11. feladat: Pinokkió egy 1 cm sugarú kerek foltot ültetett egy téglalap alakú, 20 cm x 25 cm méretű papírlap közepére. Közvetlenül ezután Pinocchio elültetett egy másik hasonló foltot, amely szintén teljesen a lapra került. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a két folt nem érintkezik.

Megoldás: az első, 1 cm sugarú foltot pirosra festjük (5. ábra). A kontúrok a második folt lehetséges helyeit mutatják - az első és a második érintése esetén.

Látjuk, hogy a foltok összeérnek, amikor a második beleesik a 3 cm sugarú körből és egy 1 cm sugarú körből álló gyűrűbe. Határozza meg a gyűrű területét: A gyűrű S =*3 2 - *1 2 \u003d 8 cm 2 . Kedvezőnek tekintjük az eredményt, ha a blotoknak nincs közös pontja, vagy metszik egymást.

Ebben az esetben az eltalálandó terület egy vágott gyűrűvel ellátott téglalap. Keressük meg ennek az S1 ábrának a területét: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

A téglalap P \u003d S1 / S valószínűsége \u003d (500-8 * 3,14) / 500 ≈ 0,95

Válasz: 0,95

12. feladat: A labda felületének 10%-a (terület szerint) feketére van festve, a maradék 90%-a fehér. Bizonyítsuk be, hogy lehetséges úgy kockát írni egy golyóba, hogy minden csúcsa fehér pontokba esik.

Megoldás: írd be a golyóba az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockát véletlenszerűen. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az adott csúcs (például A csúcs) fekete lesz, 1/10. Annak a valószínűsége, hogy a nyolc csúcs közül legalább egy fekete lesz, nem haladja meg a 8/10-et (nyolc esemény uniója 1/10 valószínűséggel). Ez azt jelenti, hogy vannak olyan esetek (az összes opció legalább 2/10-ét teszik ki), amikor minden csúcs fehér.

Sylvester problémája

Egy kicsit bonyolultabb problémát Sylvester-problémának neveznek. Ez abból áll, hogy meghatározzuk annak valószínűségét, hogy négy pont A, B, C, D, véletlenszerűen egy konvex területen belül, egy konvex négyszöget alkot; ez azt jelenti, hogy egyik pont sem esik a másik három által alkotott háromszögbe.

Előnézet:

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre fiókot magának ( fiókot) Google és jelentkezzen be:

tévé véletlenül

1. Klasszikus

2. Sztochasztikus főbb tényezők másodlagos

esemény

Megkülönböztetni megbízható lehetetlen véletlen

Tulajdonságok valószínűségek:

<Р(С)<1.

Két eseményt A és B nevezünk összeegyeztethetetlen közös

az egyetlen lehetséges

teljes csoport

szemben.

Alatt tagadás

frekvencia adott eseményeket

Bernoulli tétele valószínűség szerint

Méltóság

hátrányai

Eseményvalószínűség

kombinatorika.

Kombinációk n-től m-ig n elemből álló vegyületeknek nevezzük, amelyek az elemek összetételében különböznek egymástól. Az n-től m-ig terjedő kombinációk száma megegyezik a rendelkezésre álló n-ből m elem kiválasztásának lehetőségeinek számával: , ahol n>m.

kombinációk ismétlésekkel: .

Elhelyezések

elhelyezések ismétléssel: .

Permutációk

A matematikai statisztika alapfogalmai

Az SW analógja a valószínűségelméletből az X attribútum a matematikai statisztikában.

Az X attribútum lehetséges értékeinek halmazát, amely lehetővé teszi az eloszlási paraméterek becslését, valamint az X attribútum kimerítő pontosságú eloszlását, az ún. az általános lakosság.

Az X jellemző mintája az általános sokaság korlátozott számú statisztikai adata: ; - mintaelemek, n - mintanagyság

A mintaadatok kiválasztása egy általános sokaságból a véletlen műve ⇒ a minta többváltozós SV-nek tekinthető. Ez azt jelenti, hogy a minta minden eleme SV.

A minta és elemei eloszlási törvénye egybeesik annak az általános sokaságnak az eloszlási törvényével, amelyből kivonták.

A minta fő sv-ohmja a véletlenszerűsége. Ez biztosítja a minta reprezentativitását (reprezentativitását). Egyébként azt mondják a hibáról - bemutathatóság.

Eloszlási paraméterek pontbecslése. A mintavételi funkciók követelményei.

A mintavételi függvényt bizonyos f-tionnak nevezzük, amely a minta elemeit számértékké alakítja. A mintavételi függvény az eloszlási paraméterek, a konfidenciaintervallum határainak becslésére és a teszt statisztikáinak értékelésére szolgál. Mivel a minta elemei véletlenszerűek, a mintafüggvényből kapott szám is véletlenszerű érték. A Q eloszlási paraméter Qn pontbecslése (felül tildával) egy olyan érték, amely a Q paraméter valódi értékét jellemzi. Ugyanazon eloszlási paraméter becslésére több különböző mintavételi függvény is összeállítható. Követelmények: 1.konzisztencia – a végtelenbe hajló n paraméter becslése valószí- nűséggel konvergál ennek a paraméternek a valódi értékéhez. Így írva Így . 2. torzítatlanság – az eloszlási paraméterek becsléseinek matematikai elvárása = ennek a paraméternek a valódi értéke. Ha ez az egyenlőség bármely n-re érvényes, akkor ez abszolút elfogulatlanság; és ha n a végtelen felé hajlik, akkor aszimptotikus. 3.efficiency - azt a mintavételi függvényt (becslést) nevezzük effektívnek, amely a legkisebb szórással rendelkezik. , ahol a számláló a vizsgált becslés varianciája, a nevező pedig az effektív becslés varianciája. Minél közelebb van a hatékonyság e 1-re, annál hatékonyabb a vizsgált értékelés. Ha ez a feltétel teljesül, mivel n a végtelenbe hajlik, akkor ez aszimptotikus hatásfok.

Eloszlási hisztogram.

Az első dolog, amit egy adott X = (x 1, x 2, ..., x n) mintából megkaphatunk, az eloszlási törvény kezdeti ötlete. Ez az úgynevezett eloszlási hisztogram felépítésével történik. Ehhez határozza meg a vizsgált tulajdonság lehetséges értékeinek változási tartományát (hasonlóan a TV ST-vel) a meglévő minta szerint X=(x 1,x 2,…,x n) – x'=-ből min(x i ) és x”= max(x i ). Ez a tartomány feltételesen fel van osztva M intervallumra - az úgynevezett számjegyekre vagy a hisztogram "zsebeire". Az M számot a kutató választja. A Sturges-képlet szerint az ajánlott M számú partíciós intervallum M . Ha az összes azonos szélességű számjegyet kiválasztjuk, akkor a számjegy szélessége egyenlő lesz: h= .

Ezután az i-edik számjegyhez (i=1,2,…,M) kiszámítjuk a beleesett CV értékek m i számát. Az m i vagy kapott értékeket függőleges skálán ábrázolják minden egyes számjegyhez. Az így kapott hisztogramot ún eloszlási hisztogramok X jellemző:

A hisztogram alapján elsődleges képet kapunk a vizsgált tulajdonság eloszlási törvényének formájáról. Ebben az esetben a következő feltételek teljesülnek: ; .

A valószínűségszámítás tárgya. Alapfogalmak.

tévé- a matematikának a tömeges véletlenszerű jelenségek mintázatainak vizsgálatával foglalkozó ága. véletlenül jelenségnek nevezzük, aminek nyoma van. tulajdonságok: a kimenetel bizonytalansága, a reprodukció lehetősége, az egyes események kimenetelének mérési lehetősége.

A véletlenszerű jelenségek tanulmányozására 2 megközelítést alkalmaznak:

1. Klasszikus(determinisztikus): a véletlenszerű jelenségek mintázatait a természettudományi kutatásokban leggyakrabban használt fő tényezők határozzák meg. A másodlagos tényezők figyelmen kívül hagyása a véletlen elemének megjelenéséhez vezet a vizsgált jelenségekben.

2. Sztochasztikus: a társadalmi-gazdasági vizsgálatokban használatos, a véletlenszerű jelenségek mintázatait fő és másodlagos tényezők egyaránt meghatározzák. A másodlagos tényezők teljes körű figyelembevétele gyakorlatilag lehetetlen, ezért a kutatás eredményei valószínűségi jellegűek. NAK NEK főbb tényezők olyan tényezőket tartalmazzon, amelyek jelentősen befolyásolják a teszt eredményét. NAK NEK másodlagos elhanyagolható tényezőket tartalmaznak. befolyásolja a teszt eredményét.

A véletlenszerűség eleme a jelenségekben csökken: ha több másodlagos tényező reprodukálódik, a tömegjelenségek növekedésével.

esemény minden olyan tényt, amely egy bizonyos feltételhalmaz (A, B, ..., A 1 , A 2) teljesülésekor előfordulhat (nem) megtörténik, meghívásra kerül.

Megkülönböztetni megbízható(olyan esemény, amely szükségszerűen akkor következik be, ha egy adott feltétel teljesül), lehetetlen(olyan esemény, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén nem következhet be) és véletlen(minden egyéb esemény) esemény.

Az esemény valószínűsége az esemény bekövetkezésének objektív lehetőségének numerikus mértéke (P(A), p 1 ,...).

Tulajdonságok valószínűségek:

egy bizonyos esemény valószínűsége egyenlő 1-gyel: Р(А)=1;

a lehetetlen esemény valószínűsége 0: P(B)=0;

egy véletlen esemény valószínűsége 0<Р(С)<1.

Két eseményt A és B nevezünk összeegyeztethetetlen(vagy) ha egyikük előretörése kizárja a másik előretörését. Az eseményeket ún közös i. ha egyidejűleg megjelenhetnek ugyanazon a tárgyaláson.

A А 1 , А 2 ,...,А n események meghívásra kerülnek az egyetlen lehetséges ha ezen események közül legalább egy bekövetkezik a teszt eredményeként.

Rendezvények А 1 , А 2 ,...,А n formában teljes csoport események, ha esetleg összeférhetetlenek és egyedileg lehetségesek.

Két olyan eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak szemben.

Alatt tagadás események értik az ellenkező esemény bekövetkezését: A, .
2. Az esemény relatív gyakorisága. Bernoulli tétele.

Azoknak az eseményeknek a valószínűségét, amelyek reprodukciós kísérletei nem rendelkeznek az eredmények szimmetriatulajdonságával, az határozza meg frekvencia adott eseményeket vagy annak az eseménynek a statisztikai valószínűségét.

Egy esemény statisztikai valószínűsége A az azon kísérletek számának aránya, amelyekben az esemény bekövetkezett az összes kísérlet számához viszonyítva: W(A)=P*(A)=m/n, ahol n a kísérletek teljes száma, m a kísérletek száma amelyen az A esemény bekövetkezett.

Egy esemény statisztikai valószínűsége csak egy becslés az esemény valószínűségének valós értékére. Használata az alábbiak szerint lehetséges. körülmények:

1. Lehetővé kell tenni az A esemény előfordulására vonatkozó kísérletek ismételt reprodukálását bizonyos feltételek mellett.

2 Az eseményeknek statisztikai vagy relatív gyakorisági stabilitással kell rendelkezniük.

3. A kísérletek számának elég nagynak kell lennie.

Bernoulli tétele: A kísérletek számának növekedésével, i.e. mint n→¥, az esemény relatív gyakorisága konvergál valószínűség szerint ennek az eseménynek a valószínűségének valós értékéhez: , .

Méltóság A valószínűség meghatározására szolgáló gyakorisági séma a megoldandó problémák széles osztálya.

hátrányai a következők: egy esemény valószínűségének közelítő értéke; jelentős erkölcsi, anyagi és időköltség az értékelés megszerzéséhez.
3. Egy esemény valószínűségének klasszikus meghatározása. Kombinatorikai képletek.

Eseményvalószínűség- egy kísérlet, amelynek reprodukálása szerint egyenlően lehetséges eredményekre bontható, egyenlő: P (A) \u003d m / n, ahol n a lehetséges kimenetelek száma, m a kedvező kimenetelek száma esemény A.

Az m és n értékének meghatározásához használja a képleteket kombinatorika.

Ha kombinációkban a kiválasztott elemek megismételhetők, akkor azok meghívásra kerülnek kombinációk ismétlésekkel: .

Elhelyezések n-től m-ig olyan vegyületeket nevezünk, amelyek m elemből állnak, és akár az elemek összetételében, akár megjelenési sorrendjében különböznek egymástól: .

Ha az elemek megismételhetők az elhelyezésekben, akkor ezeket hívják elhelyezések ismétléssel: .

Permutációk n elemből n elemből álló vegyületeknek nevezzük, amelyek az elemek sorrendjében különböznek egymástól: .

Egy esemény valószínűségének geometriai meghatározása.

Azokban az esetekben, amikor a teszt kimenetele egyformán valószínű, és számuk végtelen halmaz, akkor egyes események valószínűsége a kedvező terület mértékének a terület mértékéhez viszonyított arányaként definiálható, pl. P(A)=m(G)/n(S).

Egy szegmens hossza, egy lapos figura területe vagy egy test térfogata a területek mértékeként szolgálhat.

A teljes S régiónak és a kedvező G régiónak zártnak és mérhetőnek kell lennie.

Tekintsünk egy lapos S ábrát, amelyen belül egy véletlenszerű pont jelenik meg. Emeljük ki az S 1 és S 2 altartományokat. Az A esemény egy véletlenszerűen kiválasztott pont, az S 1 és S 2 árnyékolt területeken belül lesz. P(A)=(S1+S2)/S.
5. Közös és nem közös rendezvények. A valószínűségek összeadásának tétele.

Ha valamelyik esemény biztosan bekövetkezik, akkor ilyen események alakulnak ki teljes csoport eseményeket.

összeg 2 A és B eseményt C eseménynek nevezzük, amely az A vagy a B esemény bekövetkezéséből áll: C \u003d A + B.

munka 2 A és B eseményt C eseménynek nevezzük, amely az A és B esemény együttes előfordulásából áll: C \u003d A × B.

Alatt tagadás események A megérti az ellenkező esemény bekövetkezését: .

Közös eseményösszeadás tétel: 2 együttes esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, együttes előfordulásuk valószínűsége nélkül: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×) B).

□ Legyen n a lehetséges kimenetelek száma, amelyek közül m hozzájárul az A esemény bekövetkezéséhez, k a B eseményhez, l az A és B együttes előfordulásához hozzájáruló kimenetelek száma:

P(A)=m/n, P(B)=k/n, P(A×B)=l/n, A+B→m+k-l.

P(A+B)=(m+k-l)/n=m/n+k/n–l/n= P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B) ■.

Összeadási tétel inkompatibilis eseményekre: 2 inkompatibilis esemény összegének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: P(A+B)=P(A)+P(B).

□ Mert A és B összeférhetetlen események, akkor A × B lehetetlen esemény:

P(A+B)=P(A)+P(B)–0=P(A)+P(B)■.

Következmény 1: A teljes eseménycsoport által alkotott események valószínűségeinek összege=1: P(A 1 , A 2 ,...,A n)=1.

□ Mert A 1 , A 2 ,..., A n egy teljes eseménycsoportot alkotnak, akkor páronként inkompatibilisek és az egyetlen lehetséges esemény, akkor A 1 , A 2 ,..., A n megbízható esemény:

P(A 1, A 2,...,A n)= P(A 1)+P(A 2)+...+P(A n)=1 ■.

2. következmény: Ellentétes események összegének valószínűsége=1: P(A+)=P(A)+P()=1.
6. Függő és független események. Valószínűségszorzó tétel.

Két eseményt A és B nevezünk függő ha az egyik bekövetkezésének valószínűsége egy másik esemény bekövetkezésétől függ, ellenkező esetben az események független(ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezésének valószínűségét).

Alatt feltételes valószínűség események A megérti ennek az eseménynek a valószínűségét, azzal a feltétellel számítva, hogy B esemény bekövetkezett: P (A / B), P B (A).

A szorzás tétele (eseményfüggősége).: 2 függő esemény szorzatának valószínűsége egyenlő az egyik esemény valószínűségének szorzatával egy másik esemény feltételes valószínűségével: P(A×B)=P(A)×P(B/A)=P( B)×P(A/B) .

□ Legyen n azon lehetséges kimenetelek száma, amelyek közül m az A eseményt, k-B eseményt, l-egyidejűleg A és B eseményt részesíti előnyben:

P(B/A)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(A×B)/P(A)=> P(A×B)=P(A)×P( B/A).

m kimenetelből 1 fordult elő 1/m (A esemény történt), ebből az m kimenetelből l járul hozzá az esemény bekövetkezéséhez:

P(A/B)=l/k=(l/n)/(k/n)= P(A×B)/P(B)=> P(A×B)=P(B)×P( A/B)■.

A n függő események a valószínűségi szorzási tétel a következő formában lesz:

P (A 1 × A 2 × ... × A n) \u003d P (A 1) × P (A 2 / A 1) × P (A 3 / A 1 × A 2) × ... × P ( A n /A 1 × A 2 ×... × A n -1).

P (A) \u003d P (A / B) => A 1 × B - független események, P (A) ≠ P (A / B) => A 1 × B - függő események.

7. Rendezvények teljes csoportja. Teljes valószínűségi képlet:

A H1, H2, …, Hn események halmazát nevezzük páronként összeférhetetlen események teljes csoportjával, ha:

Legyen egy teljes csoportja a H1, H2, ..., Hn összeférhetetlen eseményeknek, amelyek meghatározzák azokat a feltételeket, amelyek mellett egy kísérlet elvégezhető valamilyen A esemény reprodukálására. Minden hipotézisnek megvan a saját feltételes valószínűsége az A eseményre. : P(A/Hi), i=1 ,2,…,n.

Tétel: Ha H1,H2,…,Hn páronként összeférhetetlen események teljes csoportja, és P(Hi) 0, i=1,2,…,n, akkor bármely A eseményre érvényes az egyenlőség:

a teljes valószínűségi képlet.

8. Bayes-képlet a hipotézisek valószínűségének túlbecslésére. A gyakorlati értéke.

A teljes valószínűségi képlet egyik legfontosabb következménye az Bayes képlet.

, i=1,2,…,n.

A Bayes-képlet segítségével megbecsüljük annak valószínűségét, hogy melyik lehetséges okok ténylegesen megtörtént, feltéve, hogy az A esemény bekövetkezett.

Valószínűségek at - a priori valószínűségek. - a posteriori valószínűségek. A problémák megoldásának folyamata a teljes valószínűségi képlet és a Bayes-képlet segítségével a fatípus gráfdiagramjaként ábrázolható, a macskának egy gyökér és több gyökércsúcs van, amelyeket m / y hivatkozások kötnek össze.

9. Bernoulli és Poisson képlet:

Bernoulli tétele: ha az A esemény bekövetkezésének p valószínűsége minden próbában állandó, akkor az A esemény Pm,n valószínűsége m-szer fog bekövetkezni n független Bernoulli-próbában egyenlő:

, ahol q=1-p.

A Bernoulli-képletet viszonylag kis m-re és n-re használják.

Poisson-tétel: Ha az A esemény bekövetkezésének p valószínűsége minden próbában 0-ra hajlik (p->0) az n kísérletek számának korlátlan növekedésével (n-> )/. Ezenkívül az np szorzat egy állandó számra hajlamos ( ), akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény m-szer következik be n független kísérletben, teljesíti a határegyenlőséget.

A valószínűség klasszikus definíciója azt feltételezi, hogy az elemi eredmények száma véges. A gyakorlatban vannak olyan kísérletek, amelyeknél az ilyen eredmények halmaza végtelen.
A valószínűség klasszikus definíciójának hátrányának leküzdésére, miszerint nem alkalmazható végtelen számú kimenetelű kísérletekre, bevezetjük geometriai valószínűségek - annak a valószínűsége, hogy egy pont egy területre esik.
A síkon adott egy négyzetes tartomány, azaz. olyan terület, amelynek van területe. Ezt a területet betűvel jelöljük és területét . A terület területterületet tartalmaz (1.1. ábra). Egy pont véletlenszerűen kerül a területre. Feltételezzük, hogy egy elhagyott pont a régió valamely részébe eshet ennek a résznek a területével arányos valószínűséggel, és független az alakjától és elhelyezkedésétől. Hagyjuk - ütni a dobott pontot a területen, akkor ennek az eseménynek a geometriai valószínűségét a képlet határozza meg

. (1.5.1)

Hasonlóképpen bevezetjük a geometriai valószínűség fogalmát, amikor egy pontot dobunk egy G térfogatú térbeli tartományba. V G, amely tartalmazza a térfogat g területét Vg:

. (1.5.2)

Általános esetben a geometriai valószínűség fogalmát a következőképpen vezetjük be. Jelölje az átmenő terület mértékét (hossz, terület, térfogat). mes g, és a tartomány mértéke G - keresztül mes G (mes- egy francia szó első három betűje rendetlenség, ami mértéket jelent); jelölje A betűvel azt az eseményt, hogy "a dobott pont eltalálja a g régiót, amelyet a régió tartalmaz G". A képlet határozza meg annak valószínűségét, hogy a G régióba dobott pont a g régióba esik

. (1.5.3)

1. példa Egy négyzet körbe van írva (1.2. ábra). Véletlenszerűen egy pont kerül a körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy a pont a négyzetbe esik?

Megoldás.

Bemutatjuk a jelölést: R- a kör sugara, A- a beírt négyzet oldala, A- pont eltalálása a négyzetben, S- egy kör területe, S 1 a beírt négyzet területe. Mint tudod, a kör területe . A beírt négyzetnek a körülírt kör sugarán át eső oldalát a képlet fejezi ki, tehát a négyzet területe.
Feltételezve az (1.5.1) , , képletben, megtaláljuk a kívánt valószínűséget
.

2. példa. Egy négyzetben (1.3. ábra), amelynek csúcsai a pontokban vannak O(0, 0), NAK NEK(0, 1), L( 1, 1), M(1, 0) pont véletlenszerűen dobott Q(x, y). Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy ennek a pontnak a koordinátái kielégítik a > egyenlőtlenséget.

Megoldás.

Rajzoljunk egy egyenest, ez metszi a szakaszt ML azon a ponton N( 1; 1/2). Ez az egyenes két félsíkra vágja a síkot: az első (felső) pont koordinátáira az y > x/2 egyenlőtlenség, a második (alsó) egyenlőtlenségre az y egyenlőtlenség teljesül.< х/2.
A négyzet minden pontja OKLMés amelyek koordinátái kielégítik az y > x/2 egyenlőtlenséget, a sokszögben vannak OKLN. Ez a sokszög egy téglalapból áll CKLNés háromszög ocn, annak területe S 1 \u003d 1/2 + 1/4 \u003d 3/4. Négyzet S négyzet OKLM egyenlő eggyel: S= 1. Az (1.5.1) képletnek megfelelően, feltételezve, hogy , , megtaláljuk a szükséges valószínűséget
.

3. példa(Buffon problémája). A síkot párhuzamos egyenesek húzzák, amelyek közötti távolság egyenlő A. Egy hosszúságú szegmens véletlenszerűen kerül erre a síkra l(l< A). Mekkora a valószínűsége annak, hogy a vonalszakasz metszi legalább az egyik egyenest a családban?

Megoldás.

A szakasz felső vége és az alulról legközelebbi egyenes közötti távolságot jelöli (1.4. ábra). Szög a szegmens és
a család egyeneseivel párhuzamos sugár, amelynek eleje egybeesik a szakasz felső végével, amelyet jelöl. Nyilvánvalóan és Ahhoz, hogy egy szakasz a család legalább egyik egyenesét metszi, szükséges és elegendő, hogy vagy . Az "egy szegmens véletlenszerűen dobott" kifejezés a következőképpen értelmezhető: egy pont (x, y) véletlenszerűen kerül egy téglalapra: , . Azok a pontok, amelyek koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget, az 1.5. ábrán árnyékolt ábrát alkotnak.

Ennek az ábrának a területe .

A teljes téglalap területe . Az (1.5.1) képlettel, feltételezve, hogy , , megtaláljuk a kívánt valószínűséget , ahol A az "a szakasz legalább egy egyenest metszi" esemény.
4. példa Egy gömbbe egy kocka van beírva. Egy pont véletlenszerűen van rögzítve a labdában. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pont beleesik a kockába.

Megoldás. Vezessük be a jelölést: A esemény – „pont eltalálása a kockában”; R- labda sugara, A- a kocka széle, V- a gömb térfogata, V 1 a beírt kocka térfogata.
Mint ismeretes,. Azóta és akkor . Az (1.5.2) képletnek megfelelően, és feltételezve, megkapjuk

Feladatok

A síkra két koncentrikus kört rajzolunk, amelyek sugara 6, illetve 12 cm. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy nagy körbe véletlenszerűen bedobott pont beleesik a jelzett körök alkotta gyűrűbe?
Egy sugarú körben R szabályos háromszög van beírva. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy ebbe a körbe dobott pont beleesik az adott háromszögbe.
O csúcsú négyzethez ( 0, 0 ), K(0, 1), L(1, 1), M(1, 0) véletlenszerűen dob egy pontot Q(x, y). Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a pontnak a koordinátái kielégítik az y > 2x egyenlőtlenséget?
Egy gömbbe szabályos háromszög alakú piramis van beírva. Egy pont véletlenszerűen van rögzítve a labdában. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy pont piramisba esik.
Rúd hossza l véletlenszerűen három részre törve. Mennyi a valószínűsége, hogy ezek a részek háromszöget alkotnak?
A síkban a G tartományt egy ellipszis, a tartományt pedig ez az ellipszis és az ellipszis határolja. Egy pontot dobnak a területre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pont a területre esik?
Csúcsokkal rendelkező téglalapban NAK NEK(-2, 0),L(-2, 5), M(1, 5), N( 1, 0) egy pontot dobnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy koordinátái (x, y) kielégítik az egyenlőtlenségeket?
Az ellipszoid által határolt G régióban , egy pont véletlenszerűen van rögzítve. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a pontnak a koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget?
Egy csúcsokkal rendelkező téglalaphoz R(-2, 0), L(-2,9), M(4, 9), N( 4, 0) egy pontot dobnak. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a koordinátái kielégítik az egyenlőtlenségeket.
A területet egy kör, a területet pedig ez a kör és egy parabola határolja. Egy pontot dobnak a területre. Mennyi a valószínűsége, hogy a területen lesz?

A mű szövege képek és képletek nélkül kerül elhelyezésre.
A munka teljes verziója elérhető a "Munkafájlok" fülön PDF formátumban

Bevezetés

Úgy gondolják, hogy a matematikában minden problémára mindig van pontos válasz. A matematikának azonban egy egész ága foglalkozik olyan jelenségek és feladatok tanulmányozásával és leírásával, amelyek eredményeit nem lehet pontosan meghatározni, olyan jelenségeket, amelyekben a véletlen dominál. Ezt a részt valószínűségelméletnek nevezzük.

Az iskolai matematika tanfolyamon ezt a témát felületesen érintik. Konkrétan a valószínűségek egyetlen úgynevezett „klasszikus” definíciója van megadva, amely nem mindig alkalmazható. Különösen a klasszikus valószínűségszámítással még a cél eltalálásának valószínűségének viszonylag egyszerű problémáját sem lehet megoldani.

Ebben a cikkben a valószínűségek meghatározásának egy másik lehetőségét – a geometriai valószínűséget – kívánjuk megvizsgálni, amely lehetővé teszi az ilyen problémák megoldását.

A munka célja: meghatározza a geometriai valószínűség hasznosságát a feladatok megoldásában.

Feladatok:

Határozza meg a geometriai valószínűséget.

Tekintsük a geometriai valószínűség tulajdonságait.

Hasonlítsa össze a kapott tulajdonságokat a klasszikus valószínűség tulajdonságaival.

Tekintsük a geometriai valószínűség alkalmazását a feladatok megoldásában.

Határozza meg a geometriai valószínűség használatára vonatkozó korlátozásokat.

A mű relevanciája az, hogy a geometriai valószínűség segíthet meghatározni egy adott jelenség valószínűségét azokban az esetekben, amikor a klasszikus valószínűség tehetetlen.

1. fejezet A geometriai valószínűség meghatározása

A 6. évfolyamon érintik a valószínűség fogalmát (a 9. évfolyamon pedig valamelyest elmélyítik). A valószínűség többféleképpen definiálható. A legtöbb iskolai tankönyv a valószínűség következő meghatározását adja:

Hol van az események száma, amikor az esemény bekövetkezik, és az összes egyformán lehetséges kimenetel száma. A valószínűségnek ezt a definícióját ún klasszikus.

Ez azonban nem mindig alkalmazható.

§ 1.1. Hosszokat

Vegye figyelembe a következő problémát:

Egy pont véletlenszerűen kerül a szakaszra. Ez a szegmens intervallumokra van felosztva. Mennyi a valószínűsége az intervallum eltalálásának