Néhány tört integrálása. Megoldási módszerek és technikák. Tört-racionális függvény integrálása. Határozatlan együtthatók módszere Törtszám határozott integrálja példák

Adott az integrálszámítás képlete négy típus legegyszerűbb, elemi törtjéből. Az összetettebb integrálokat a negyedik típusú törtekből a redukciós képlet segítségével számítjuk ki. A negyedik típus törtrészének integrálására egy példát veszünk figyelembe.

Lásd még: Határozatlan integrálok táblázata
Határozatlan integrálok számítási módszerei

Mint ismeretes, valamely x változó bármely racionális függvénye felbontható polinomra és egyszerű elemi törtekre. Az egyszerű törteknek négy típusa van:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Itt a, A, B, b, c valós számok. x egyenlet 2+bx+c=0 nincsenek igazi gyökerei.

Az első két típus törteinek integrálása

Az első két tört integrálása az integráltáblázat következő képleteivel történik:
,
, n ≠ - 1 .

1. Az első típus töredékének integrálása

Az első típus törtrésze t = x - a behelyettesítéssel táblázatintegrálra redukálódik:
.

2. A második típus töredékének integrálása

A második típus töredéke táblaintegrálra redukálódik ugyanazzal a t \u003d x - a helyettesítéssel:

.

3. A harmadik típus töredékének integrálása

Tekintsük a harmadik típus törtjének integrálját:
.
Két lépésben számoljuk ki.

3.1. 1. lépés Válassza ki a nevező deriváltját a számlálóban

A tört számlálójában kiválasztjuk a nevező deriváltját. Jelölje: u = x 2+bx+c. Megkülönböztetés: u′ = 2 x + b. Akkor
;
.
De
.
A modulo jelet kihagytuk, mert .

Akkor:
,
Ahol
.

3.2. 2. lépés Számítsa ki az integrált, ahol A = 0, B=1

Most kiszámítjuk a maradék integrált:
.

A tört nevezőjét a négyzetösszeghez hozzuk:
,
Ahol .
Úgy gondoljuk, hogy az x egyenlet 2+bx+c=0 nincsenek gyökerei. Ezért .

Csináljunk egy cserét
,
.
.

Így,
.

Így megtaláltuk a harmadik típus egy töredékének integrálját:

,
Ahol .

4. A negyedik típus törtrészének integrálása

Végül pedig vegyük figyelembe a negyedik típus töredékének integrálját:
.
Három lépésben számítjuk ki.

4.1) A számlálóban kiválasztjuk a nevező deriváltját:
.

4.2) Számítsa ki az integrált!
.

4.3) Számítsa ki az integrálokat!
,
az öntési képlet segítségével:
.

4.1. 1. lépés: A számlálóban szereplő nevező deriváltjának kinyerése

A nevező deriváltját választjuk ki a számlálóban, ahogyan a -ban is tettük. Jelölje u = x 2+bx+c. Megkülönböztetés: u′ = 2 x + b. Akkor
.

.
De
.

Végül nálunk van:
.

4.2. 2. lépés Az integrál kiszámítása n = 1-gyel

Kiszámoljuk az integrált
.
Számítását a .

4.3. 3. lépés A redukciós képlet levezetése

Most nézzük az integrált
.

A négyzetes trinomit a négyzetek összegére hozzuk:
.
Itt .
Cserét végzünk.
.
.

Átalakításokat, részenkénti integrációt végzünk.




.

Szorozva 2 (n - 1):
.
Visszatérünk x-hez és I n-hez.
,
;
;
.

Tehát I n-re megkaptuk a redukciós képletet:
.
Ezt a képletet egymás után alkalmazva az I n integrált I-re redukáljuk 1 .

Példa

Számítsa ki az integrált

1. A számlálóban kiválasztjuk a nevező deriváltját.
;
;


.
Itt
.

2. Kiszámoljuk a legegyszerűbb tört integrálját.

.

3. A redukciós képletet alkalmazzuk:

az integrálhoz .
Esetünkben b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Ezt a képletet n =-re írjuk ki 2 és n = 3 :
;
.
Innen

.

Végül nálunk van:

.
Az együtthatót itt találjuk.
.

Mint már megjegyeztem, az integrálszámításban nincs kényelmes képlet a tört integrálására. És ezért van egy szomorú tendencia: minél „divatosabb” a tört, annál nehezebb megtalálni belőle az integrált. Ebben a tekintetben különféle trükkökhöz kell folyamodni, amelyekről most kitérek. A felkészült olvasók azonnal használhatják Tartalomjegyzék:

• Az egyszerű törtek differenciáljele alá történő összesítés módja

Számláló mesterséges transzformációs módszer

1. példa

A figyelembe vett integrál egyébként a változó metódusváltásával is megoldható, jelölve, de a megoldás sokkal hosszabb lesz.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa. Megjegyzendő, hogy itt a változócsere módszer már nem működik.

Figyelem fontos! Az 1. és 2. számú példa tipikus és gyakori. Ilyen integrálok különösen gyakran merülnek fel más integrálok megoldása során, különösen irracionális függvények (gyökök) integrálásakor.

A fenti módszer abban az esetben is működik ha a számláló legnagyobb hatványa nagyobb, mint a nevező legnagyobb hatványa.

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

Kezdjük a számlálóval.

A számláló kiválasztási algoritmusa valahogy így néz ki:

1) A számlálóban rendeznem kell , de ott . Mit kell tenni? Zárójelbe teszem és megszorzom: .

2) Most megpróbálom kinyitni ezeket a zárójeleket, mi történik? . Hmm... már jobb, de a számlálóban kezdetben nincs kettős. Mit kell tenni? Meg kell szorozni a következővel:

3) A zárójelek ismételt kinyitása: . És itt az első siker! Szükséges kiderült! De a probléma az, hogy megjelent egy extra kifejezés. Mit kell tenni? Annak érdekében, hogy a kifejezés ne változzon, ugyanezt hozzá kell adnom a konstrukciómhoz:
. Az élet könnyebb lett. Lehetséges-e újra rendezni a számlálóban?

4) Megteheti. Próbáljuk: . Bontsa ki a második tag zárójelét:
. Elnézést, de igazából az előző lépésben volt, és nem . Mit kell tenni? A második tagot meg kell szoroznunk a következővel:

5) Az ellenőrzés érdekében ismét megnyitom a zárójeleket a második kifejezésben:
. Most már normális: a 3. bekezdés végső felépítéséből származik! De ismét van egy kis „de”, megjelent egy extra kifejezés, ami azt jelenti, hogy hozzá kell tennem a kifejezésemhez:

Ha mindent jól csináltunk, akkor az összes zárójelet megnyitva az integrandus eredeti számlálóját kell kapnunk. Ellenőrizzük:
Jó.

És így:

Kész. Az utolsó félévben azt a módszert alkalmaztam, hogy a függvényt differenciál alá vontam.

Ha megtaláljuk a válasz deriváltját és a kifejezést közös nevezőre hozzuk, akkor pontosan az eredeti integrandust kapjuk. Az összeggé való bővítés megfontolt módszere nem más, mint a fordított művelet, amellyel a kifejezést közös nevezőre hozzuk.

Az ilyen példákban a számlálóválasztási algoritmust a legjobban vázlaton lehet végrehajtani. Bizonyos készségek birtokában mentálisan is működni fog. Emlékszem egy rekordidőre, amikor kiválasztottam a 11. hatványt, és a számláló kibővítése majdnem két sornyi Werdet vett igénybe.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa.

Az egyszerű törtek differenciáljele alá történő összesítés módja

Térjünk át a következő típusú törtekre.
, , , (a és együtthatók nem egyenlők nullával).

Sőt, néhány arcszinuszos és arctangenses eset már becsúszott a leckében Változómódosítási módszer határozatlan integrálban. Az ilyen példákat úgy oldjuk meg, hogy a függvényt a differenciál jele alá hozzuk, majd a táblázat segítségével integráljuk. Íme néhány tipikusabb példa hosszú és magas logaritmussal:

5. példa

6. példa

Itt célszerű elővenni egy integrál táblázatot és követni, hogy milyen képleteket ill Hogyanátalakulás történik. Jegyzet, Hogyan és miért ezekben a példákban négyzetek vannak kiemelve. Különösen a 6. példában először a nevezőt kell ábrázolnunk , majd hozd a differenciál jele alá. És mindezt meg kell tennie a szabványos táblázatos képlet használatához .

De mit nézzünk meg, próbálja meg egyedül megoldani a 7,8-as példákat, különösen, mivel ezek meglehetősen rövidek:

7. példa

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ha ezeket a példákat is ellenőrizni tudja, akkor nagy tisztelet az Ön megkülönböztető képessége a javából.

Teljes négyzet kiválasztási módszer

Az űrlap integráljai, (együtthatók és nem egyenlők nullával) megoldódnak teljes négyzet kiválasztási módszer, amely már megjelent a leckében Geometriai diagram transzformációk.

Valójában az ilyen integrálok az imént megvizsgált négy táblaintegrál egyikére redukálódnak. És ez az ismert rövidített szorzási képletekkel érhető el:

A képleteket ebben az irányban alkalmazzák, vagyis a módszer ötlete az, hogy a kifejezéseket mesterségesen rendezi vagy a nevezőben, majd átalakítja őket vagy -ra.

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez a legegyszerűbb példa, ahol kifejezéssel - egységegyüttható(és nem valami szám vagy mínusz).

Nézzük a nevezőt, itt egyértelműen az esetre redukálódik az egész. Kezdjük a nevező konvertálását:

Nyilvánvalóan hozzá kell adni 4-et. És hogy a kifejezés ne változzon - ugyanazt a négyet és ki kell vonni:

Most alkalmazhatja a következő képletet:

Az átalakítás befejezése után MINDIG kívánatos a fordított mozgás végrehajtása: minden rendben van, nincs hiba.

A szóban forgó példa letisztult kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Kész. Egy "szabad" komplex függvényt a differenciáljel alá vinni: , elvileg elhanyagolható

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy példa az önálló megoldásra, a válasz a lecke végén található.

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Mi a teendő, ha mínusz van előtte? Ebben az esetben ki kell venni a mínuszt a zárójelekből, és a feltételeket a szükséges sorrendbe kell rendezni:. Állandó(ebben az esetben "kettős") ne érintse!

Most zárójelbe teszünk egyet. A kifejezést elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy szükségünk van egyre a zárójel mögé - tegyük hozzá:

Íme a képlet, alkalmazd:

MINDIG ellenőrizzük a tervezetet:
, amelyet ellenőrizni kellett.

A példa tiszta kialakítása így néz ki:

Bonyolítjuk a feladatot

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Itt a kifejezésnél már nem egyetlen együtthatóról van szó, hanem „ötösről”.

(1) Ha egy állandó található a helyen, akkor azonnal kivesszük a zárójelből.

(2) Általában mindig jobb ezt az állandót kivenni az integrálból, hogy ne akadályozza.

(3) Nyilvánvaló, hogy mindent a képletre redukálunk. Meg kell érteni a kifejezést, nevezetesen, hogy kapjunk egy „kettőt”

(4) Igen, . Tehát hozzáadjuk a kifejezéshez, és kivonjuk ugyanazt a törtet.

(5) Most válasszon egy teljes négyzetet. Általános esetben ki kell számítani is, de itt van egy hosszú logaritmus képlet , és a műveletnek nincs értelme végrehajtani, miért - ez egy kicsit lejjebb fog kiderülni.

(6) Valójában alkalmazhatjuk a képletet , csak az "x" helyett van, ami nem tagadja a táblázatos integrál érvényességét. Szigorúan véve egy lépés hiányzik - az integráció előtt a függvényt differenciáljel alá kellett volna vinni: , de, mint már többször megjegyeztem, ezt gyakran figyelmen kívül hagyják.

(7) A gyökér alatti válaszban kívánatos az összes zárójelet visszanyitni:

Nehéz? Nem ez a legnehezebb az integrálszámításban. Bár a vizsgált példák nem annyira bonyolultak, mint inkább jó számítási technikát igényelnek.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy „csináld magad” példa. Válasz a lecke végén.

A nevezőben gyökös integrálok vannak, amelyek egy csere segítségével a figyelembe vett típusú integrálokká redukálódnak, ezekről a cikkben olvashat Komplex integrálok, de jól felkészült diákok számára készült.

A számlálót a differenciál jele alá hozzuk

Ez a lecke utolsó része, azonban az ilyen típusú integrálok meglehetősen gyakoriak! Ha felgyülemlett a fáradtság, talán jobb holnap olvasni? ;)

Az általunk figyelembe vett integrálok hasonlóak az előző bekezdés integráljaihoz, formájuk: vagy (a , és együtthatók nem egyenlők nullával).

Vagyis van egy lineáris függvényünk a számlálóban. Hogyan lehet megoldani az ilyen integrálokat?

A tört úgynevezett helyes ha a számláló legnagyobb hatványa kisebb, mint a nevező legnagyobb hatványa. A megfelelő racionális tört integrálja a következő formájú:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

A racionális törtek integrálásának képlete a nevezőben lévő polinom gyökétől függ. Ha a $ ax^2+bx+c $ polinomnak:

1. Csak összetett gyökök, akkor ki kell választani belőle egy teljes négyzetet: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 a ^2) $$
2. Különböző valós gyökök $ x_1 $ és $ x_2 $, akkor ki kell bontani az integrált és meg kell keresni a határozatlan együtthatókat $ A $ és $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Egy többszörös gyökér $ x_1 $, majd kibontjuk az integrált, és megkeressük a $ A $ és a $ B $ határozatlan együtthatókat ehhez a képlethez: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ha a tört az rossz, azaz a számláló legmagasabb foka nagyobb vagy egyenlő a nevező legmagasabb fokával, akkor először le kell redukálni helyesészben úgy, hogy a számlálóból származó polinomot elosztjuk a nevezőből származó polinomdal. Ebben az esetben a racionális tört integrálásának képlete a következő:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Megoldási példák

Emlékezzen arra töredékesen racionális$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) alakú függvényeknek nevezzük, a $$ általános esetben két polinom %%P_n(x)%% és % aránya. %Q_m(x)% %.

Ha %%m > n \geq 0%%, akkor racionális törtet hívunk helyes, különben helytelen. A polinomiális osztási szabályt használva egy nem megfelelő racionális tört ábrázolható egy %%P_(n - m)%% polinom %%n - m%% fokú és néhány megfelelő tört összegeként, pl. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ ahol a fok: %%l% A %%P_l(x)%% polinom %-a kisebb, mint a %%Q_n(x)%% polinom %%n%% foka.

Így egy racionális függvény határozatlan integrálja egy polinom és egy megfelelő racionális tört határozatlan integráljainak összegeként ábrázolható.

Egyszerű racionális törtek integráljai

A megfelelő racionális törteknek négy típusa van, amelyek a következőképpen vannak besorolva a legegyszerűbb racionális törtek:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

ahol %%k > 1%% egy egész szám, és %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Határozatlan integrálok számítása az első két típus törtéből

Az első két típus törteinek határozatlan integráljának kiszámítása egyszerű: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\ matematika (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Határozatlan integrálok számítása a harmadik típusú törtekből

Először a harmadik típus törtét alakítjuk át úgy, hogy a nevezőben kiválasztjuk a teljes négyzetet: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/ 2)^2 + q - p^2/4), $$, mivel %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, amelyet a következőképpen fogunk jelölni: %%a^2%%. Cserélve még %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, átalakítjuk a nevezőt és a harmadik típusú tört integrálját $$ \begin alakba írjuk (tömb)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^ 2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d )t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(tömb) $$

A határozatlan integrál linearitását felhasználva az utolsó integrált kettő összegeként ábrázoljuk, és az elsőbe bevezetjük a %%t%% differenciáljel alá: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\jobbra| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Az eredeti %%x%% változóhoz visszatérve a következőt kapjuk: $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ ahol %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

A 4-es típusú integrál kiszámítása nehézkes, ezért ebben a kurzusban nem foglalkozunk vele.

Amint alább látni fogjuk, nem minden elemi függvénynek van elemi függvényekben kifejezett integrálja. Ezért nagyon fontos kiemelni azokat a függvényosztályokat, amelyek integráljai elemi függvényekkel vannak kifejezve. Ezen osztályok közül a legegyszerűbb a racionális függvények osztálya.

Bármely racionális függvény ábrázolható racionális törtként, azaz két polinom arányaként:

Anélkül, hogy korlátoznánk az argumentum általánosságát, feltételezzük, hogy a polinomoknak nincs közös gyöke.

Ha a számláló a nevező foka alatt van, akkor a törtet megfelelőnek, ellenkező esetben a törtet nem megfelelőnek nevezzük.

Ha a tört helytelen, akkor a számlálót a nevezővel elosztva (a polinomok osztásának szabálya szerint) ezt a törtet egy polinom és valamilyen szabályos tört összegeként ábrázolhatja:

itt egy polinom, és egy megfelelő tört.

Példa t. Legyen megadva egy helytelen racionális tört

A számlálót elosztva a nevezővel (a polinomok osztásának szabálya szerint) kapjuk

Mivel a polinomok integrálása nem nehéz, a racionális törtek integrálásának fő nehézsége a megfelelő racionális törtek integrálása.

Meghatározás. Az alak megfelelő racionális törtrészei

az I., II., III. és IV. típusú legegyszerűbb frakcióknak nevezzük.

Az I., II. és III. típusú legegyszerűbb törtrészek integrálása nem túl bonyolult, ezért további magyarázat nélkül integráljuk őket:

A bonyolultabb számításokhoz a IV. típusú legegyszerűbb törtrészek integrálása szükséges. Adjunk egy ilyen típusú integrált:

Végezzünk átalakításokat:

Az első integrált behelyettesítéssel vesszük fel

A második integrál - jelöljük és írjuk be az alakba

Feltételezzük, hogy a nevező gyökerei összetettek, ezért a következőképpen járunk el:

Alakítsuk át az integrált:

Alkatrészenkénti integrációnk van

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az (1) egyenlőségbe, azt kapjuk

A jobb oldalon ugyanilyen típusú integrál található, de az integrandus nevezőjének kitevője eggyel kisebb; így kifejezésekkel fejeztük ki. Ugyanezen az úton haladva elérjük a jól ismert integrált.