Komplex számkalkulátor trigonometrikus alakjainak megoldása. Komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakja. Komplex számok trigonometrikus formában

Műveletek algebrai formában írt komplex számokon

A z = komplex szám algebrai alakja(a,b) az alak algebrai kifejezésének nevezzük

z = a + kettős.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 +b 1 énÉs z 2 = a 2 +b 2 én, amelyeket algebrai formában írunk, a következőképpen hajtjuk végre.

1. Komplex számok összege (különbsége).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

azok. Az összeadás (kivonás) a polinomok összeadásának szabálya szerint történik hasonló tagok redukciójával.

2. Komplex számok szorzata

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

azok. a szorzás a polinomok szorzásánál szokásos szabály szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy én 2 = 1.

3. Két komplex szám felosztása a következő szabály szerint történik:

, (z 2 ≠ 0),

azok. az osztást úgy hajtjuk végre, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó konjugáltjával.

A komplex számok hatványozását a következőképpen határozzuk meg:

Ezt könnyű megmutatni

Példák.

1. Keresse meg a komplex számok összegét! z 1 = 2 – énÉs z 2 = – 4 + 3én.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.

2. Keresse meg a komplex számok szorzatát! z 1 = 2 – 3énÉs z 2 = –4 + 5én.

= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3i∙ 5i = 7+22én.

3. Keresse meg a privátot z felosztásból z 1 \u003d 3-2 z 2 = 3 – én.

z= .

4. Oldja meg az egyenletet:, xÉs y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3én.

A komplex számok egyenlősége alapján a következőket kapjuk:

ahol x=–1 , y= 4.

5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 , i -2 .

6. Számítsa ki, ha .

.

7. Számítsa ki egy szám reciprokát! z=3-én.

Komplex számok trigonometrikus formában

összetett sík síknak nevezzük derékszögű koordinátákkal ( x, y), ha minden pont koordinátákkal ( a, b) komplex számot kap z = a + bi. Ebben az esetben az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, és az y tengely az képzeletbeli. Aztán minden komplex szám a+bi geometriailag egy síkon pontként ábrázolva A (a, b) vagy vektor .

Ezért a pont helyzete A(és innen a komplex szám z) a | vektor hosszával állítható be | = rés szög j vektor alkotta | | a valós tengely pozitív irányával. Egy vektor hosszát ún komplex szám modulusaés |-vel jelöljük z|=r, és a szög j hívott komplex szám argumentumés jelöltük j = argz.

Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 és | z | = 0 Û z= 0.

ábrából. 2 azt mutatja, hogy .

Egy komplex szám argumentuma kétértelműen, legfeljebb 2-ig van definiálva pk, kÎ Z.

ábrából. 2. ábra is mutatja, hogy ha z=a+biÉs j=argz, Hogy

kötözősaláta j =, bűn j =, tg j = .

Ha zОRÉs z > 0 akkor argz = 0 +2pk;

Ha z ОRÉs z< 0 akkor argz = p + 2pk;

Ha z= 0,argz meghatározatlan.

Az argumentum fő értékét a 0 intervallum határozza meg £argz 2 GBP p,

vagy -o£ arg z £ p.

Példák:

1. Határozza meg a komplex számok modulusát! z 1 = 4 – 3énÉs z 2 = –2–2én.

2. Határozza meg a komplex síkon a feltételek által meghatározott területeket:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+én) | 3 GBP; 4) £6 | z – én| 7 GBP.

Megoldások és válaszok:

1) | z| = 5 Û Û egy 5 sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

2) 6 sugarú kör az origó közepén.

3) 3 sugarú kör egy ponton középre z0 = 2 + én.

4) 6 és 7 sugarú körök által határolt gyűrű, amelynek középpontja egy pontban van z 0 = én.

3. Keresse meg a számok modulját és argumentumát: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2én; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Megjegyzés: A fő argumentum meghatározásakor használja a komplex síkot.

És így: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

KOMPLEX SZÁMOK XI

256. § Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen a komplex szám a + bi vektornak felel meg OA> koordinátákkal ( a, b ) (lásd 332. ábra).

Jelölje ennek a vektornak a hosszát r és a tengellyel bezárt szöget x , keresztül φ . A szinusz és koszinusz meghatározása szerint:

a / r = cos φ , b / r = bűn φ .

Ezért A = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . De ebben az esetben a komplex szám a + bi így írható:

a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).

Mint tudják, bármely vektor hosszának négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzetösszegével. Ezért r 2 = a 2 + b 2, honnan r = √a 2 + b 2

Így, bármilyen komplex szám a + bi ként ábrázolható :

a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)

ahol r = √a 2 + b 2 , és a szög φ a feltétel alapján meghatározva:

A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.

Szám r az (1) képletben ún modult, és a szög φ - érv, összetett szám a + bi .

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a modulusa pozitív; ha a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.

Bármely komplex szám modulusa egyedileg meghatározott.

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor argumentumát a (2) képletek határozzák meg egyértelműen 2 szög többszöröséig π . Ha a + bi = 0, akkor a = b = 0. Ebben az esetben r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy érvként φ ebben az esetben bármilyen szöget választhat: végül is bármelyikhez φ

0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.

Ezért a nulla argumentum nincs definiálva.

Komplex számmodulus r néha jelöli | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a komplex számok trigonometrikus formában való ábrázolására.

Példa. 1. 1 + én .

Keressük meg a modult r és érvelés φ ez a szám.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ezért a bűn φ = 1/√ 2, cos φ = 1 / √ 2, honnan φ = π / 4 + 2nπ .

És így,

1 + én = √ 2 ,

Ahol P - tetszőleges egész szám. Általában től végtelen szám A komplex szám argumentumértékei a 0 és 2 közötti értéket válasszák π . Ebben az esetben ez az érték π / 4. Ezért

1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)

2. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! √ 3 - én . Nekünk van:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Ezért 2-vel osztható szögig π , φ = 11 / 6 π ; ennélfogva,

√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).

3. példaÍrj trigonometrikus formában egy komplex számot! én .

összetett szám én vektornak felel meg OA> a tengely A pontjában végződik nál nél 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza 1, és az abszcissza tengellyel bezárt szög egyenlő π / 2. Ezért

én = cos π / 2 + én bűn π / 2 .

4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!

A 3-as komplex szám a vektornak felel meg OA > x abszcissza 3 (334. ábra).

Egy ilyen vektor hossza 3, és az x tengellyel bezárt szöge 0. Ezért

3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),

5. példaÍrd trigonometrikus formában a -5 komplex számot!

A -5 komplex szám a vektornak felel meg OA> a tengelypontban végződik x abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza 5, és az x tengellyel bezárt szög π . Ezért

5 = 5 (cos π + én bűn π ).

Feladatok

2047. Írja be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, megadva moduljaikat és argumentumaikat:

1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;

2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;

3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.

2048. Jelölje a síkon azon komplex számokat reprezentáló ponthalmazokat, amelyek r moduljai és φ argumentumai teljesítik a feltételeket:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Lehetnek-e számok egyidejűleg egy komplex szám modulja is? r És - r ?

2050. Lehet-e egy komplex szám argumentuma egyszerre szög φ És - φ ?

Mutassa be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, moduljaik és argumentumaik meghatározásával:

2051*. 1 + cos α + én bűn α . 2054*. 2 (cos 20° - én sin 20°).

2052*. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (- cos 15°- én sin 15°).

Egy pont síkbeli helyzetének meghatározásához poláris koordinátákat használhat [g, (p), Ahol G a pont távolsága az origótól, és (R- a sugár által bezárt szög - ennek a pontnak a vektora a tengely pozitív irányával Ó. A szögváltozás pozitív iránya (R az óramutató járásával ellentétes irányt veszik figyelembe. A derékszögű és a poláris koordináták közötti kapcsolat felhasználásával: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (o,

megkapjuk a komplex szám trigonometrikus alakját

z - r(sin (p + i sin

Ahol G

Xi + y2, (p egy komplex szám argumentuma, amely ebből származik

l X . y y

képletek cos(p --, sin^9 ​​= - vagy annak köszönhető, hogy tg(p --, (p-arctg

Vegye figyelembe, hogy az értékek kiválasztásakor Házasodik az utolsó egyenletből az előjeleket kell figyelembe venni x és y.

47. példa Írjon fel egy komplex számot trigonometrikus formában! 2 \u003d -1 + l / Z / .

Megoldás. Keresse meg a komplex szám modulusát és argumentumát:

= yj 1 + 3 = 2 . Sarok Házasodik megtalálni a kapcsolatokból cos (o = -, sin(p = - . Akkor

kapunk cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Nyilvánvalóan a z = -1 + V3-/ pont az
• 2 Nak nek 3

a második negyedévben: (R= 120°

Helyettesítés

2 k.. bunkó; bűn

az (1) képletben 27G L-t találtunk

Megjegyzés. Egy komplex szám argumentuma nem egyedileg definiált, hanem egy olyan tag erejéig, amely többszöröse 2p. Aztán át cn^r kijelöl

belül található argumentumérték (0. o %2 Akkor

A) ^ r = + 2kk.

A jól ismert Euler-képlet segítségével e, megkapjuk a komplex szám exponenciális alakját.

Nekünk van r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Műveletek komplex számokkal

• 1. Két komplex szám összege r, = X] + y x/ és r 2 - x 2 + y 2 / az r képlet szerint határozzuk meg! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. A komplex számok kivonásának műveletét az összeadás inverzeként definiáljuk. Összetett szám g \u003d g x - g 2, Ha g 2 + g \u003d g x,

a komplex számok különbsége 2, és g 2. Ekkor r = (x, - x 2) + (y, - nál nél 2) /.

• 3. Két komplex szám szorzata g x= x, +y, -z és 2 2 = x 2+ U2’ g-t a képlet határozza meg
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Nál nél1 Nál nél2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Különösen, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

A komplex számok szorzási képleteit exponenciális és trigonometrikus formában is megkaphatja. Nekünk van:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + izin
• 4. A komplex számok osztása az inverz művelet

szorzás, azaz. szám G-- r osztásának hányadosának nevezzük! a 2. g-n,

Ha r x -1 2 ? 2 . Akkor

x + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. A komplex szám pozitív egész hatványra emelése a legjobb, ha a számot exponenciális vagy trigonometrikus formában írjuk fel.

Valóban, ha z = ge 1 akkor

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+az n(p) De Moivre képletének nevezik.

6. A gyökér kinyerése P- egy komplex szám hatványát a hatványozás fordított műveleteként határozzuk meg p, p- 1,2,3,... azaz. komplex szám = y[g gyökérnek nevezik P- egy komplex szám edik foka

d ha G = g x. Ebből a meghatározásból az következik g - g ", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, ami az = r/*+ számra írt Moivre-képletből következik ippp(p).

Ahogy fentebb megjegyeztük, egy komplex szám argumentuma nem egyedileg definiált, hanem egy olyan tag erejéig, amely 2 többszöröse és. Ezért = (p + 2db, és az r szám argumentuma attól függően Nak nek, jelöli (p toés fú

dem képlet alapján számítani (p to= - + . Egyértelmű, hogy van P com-

plex számok, P amelynek hatványa egyenlő a 2-es számmal. Ezeknek a számoknak van egy

és ugyanaz a modul, egyenlő y[r,és ezeknek a számoknak az argumentumait úgy kapjuk meg Nak nek = 0, 1, P - 1. Így trigonometrikus formában a gyök i-edik fokozat képlettel számolva:

(p + 2 kp . . vö + 2kp

, Nak nek = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

exponenciális formában pedig - a képlet szerint l[r - y[ge n

48. példa: Végezzen műveleteket komplex számokkal algebrai formában:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /) = (- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

49. példa Emelje fel az r \u003d Uz - / számot az ötödik hatványra.

Megoldás. Megkapjuk az r szám írásának trigonometrikus alakját.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1-2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (is-is

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Innen O--, A r = 2

Moivre kapunk: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -MINKET-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

50. példa Keresse meg az összes értéket

Megoldás, r = 2, a Házasodik keresse meg az egyenletből coy(p = -, zt--.

Ez az 1. pont - /d/z a negyedik negyedévben van, azaz. f =--. Akkor

• 1 - 2
• ( ( UG L

A gyökérértékek a kifejezésből származnak

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- és 81П-

Nál nél Nak nek - 0 van 2 0 = l/2

A 2-es szám gyökének értékeit a szám megjelenítésével találhatja meg a kijelzőn

-* NAK NEK/ 3 + 2 osztály

Nál nél Nak nek= 1 van még egy gyökérértékünk:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3. . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

val vel? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

testforma. Mert r= 2, a Házasodik= , akkor r = 2е 3 , és y[g = y/2e 2

3.1. Poláris koordináták

Gyakran használják a repülőn poláris koordináta-rendszer . Meghatározott, ha egy O pont adott, ún pólus, és a pólusból kiinduló sugár (nálunk ez a tengely Ox) a poláris tengely. Az M pont helyzetét két szám rögzíti: sugár (vagy sugárvektor) és a poláris tengely és a vektor közötti φ szög. A φ szöget ún polárszög; Radiánban mérik, és a poláris tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban számolják.

Egy pont helyzetét a polárkoordináta-rendszerben egy rendezett számpár (r; φ) adja meg. A póznán r = 0és φ nincs definiálva. Az összes többi pontra r > 0és φ 2π többszöröséig van definiálva. Ebben az esetben az (r; φ) és (r 1 ; φ 1) számpárok ugyanazt a pontot kapják, ha .

Téglalap alakú koordinátarendszerhez xOy egy pont derékszögű koordinátái könnyen kifejezhetők poláris koordinátáival a következőképpen:

3.2. Komplex szám geometriai értelmezése

Tekintsük a síkon a derékszögű derékszögű koordináta-rendszert xOy.

Bármely z=(a, b) komplex számhoz hozzá van rendelve a sík egy pontja koordinátákkal ( x, y), Ahol koordináta x = a, azaz. a komplex szám valós része, az y = bi koordináta pedig a képzetes része.

Az a sík, amelynek pontjai komplex számok, összetett sík.

Az ábrán a komplex szám z = (a, b) meccspont M(x, y).

Gyakorlat.Rajzolj komplex számokat a koordinátasíkra:

3.3. Komplex szám trigonometrikus alakja

A síkban lévő komplex számnak a pont koordinátái vannak M(x; y). Ahol:

Komplex szám felírása - komplex szám trigonometrikus alakja.

Az r számot hívják modult összetett szám zés azt jelöljük. A modul egy nem negatív valós szám. Mert .

A modulus akkor és csak akkor nulla z = 0, azaz a=b=0.

A φ számot hívják érv z és jelöltük. A z argumentum kétértelműen van definiálva, mint a poláris koordináta-rendszerben a poláris szög, mégpedig 2π többszöröséig.

Ekkor elfogadjuk: , ahol φ az argumentum legkisebb értéke. Ez nyilvánvaló

.

A téma mélyebb tanulmányozása során bevezetünk egy φ* segédérvet, úgy, hogy

1. példa. Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

Megoldás. 1) figyelembe vesszük a modult: ;

2) φ keresése: ;

3) trigonometrikus forma:

2. példa Keresse meg egy komplex szám algebrai alakját! .

Itt elegendő a trigonometrikus függvények értékeit helyettesíteni és a kifejezést átalakítani:

3. példa Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát ;

1) ;

2) ; φ - 4 negyedben:

3.4. Műveletek komplex számokkal trigonometrikus formában

· Összeadás és kivonás kényelmesebb komplex számokkal végrehajtani algebrai formában:

· Szorzás– egyszerű trigonometrikus transzformációk segítségével kimutatható, hogy szorzáskor a számok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk: ;

Komplex szám trigonometrikus alakja

Terv

1. Komplex számok geometriai ábrázolása.

2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.

3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).

1. kép

b) Egy komplex szám a pontból induló vektorként ábrázolhatóRÓL RŐL és egy adott pontban ér véget (2. ábra).

2. ábra

7. példa: A komplex számokat ábrázoló pontok ábrázolása:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).

3. ábra

Komplex számok trigonometrikus jelölése.

Összetett számz = a + kettős a sugár - vektor segítségével állítható be koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).

4. ábra

Meghatározás . Vektor hossza a komplex számot reprezentáljaz , ezt a szám modulusának nevezzük és jelöljük vagyr .

Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .

Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög értéke komplex számot reprezentáló komplex szám argumentumának nevezzük és jelöljükA rg z vagyφ .

Komplex szám argumentumz = 0 meghatározatlan. Komplex szám argumentumzA ≠ 0 egy többértékű mennyiség, és a futamidőig van meghatározva2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Aholarg z - az argumentum fő értéke, az intervallumba zárva(-π; π] , vagyis-π < arg z ≤ π (néha az intervallumhoz tartozó értéket veszik az argumentum fő értékének .

Ez a képlet ar =1 gyakran De Moivre képletének nevezik:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .

Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Egy komplex szám négyzetgyökének kinyerése.

Komplex szám négyzetgyökének kinyerésekora + kettős két esetünk van:

Hab > kb , Azt ;