A paralelogramma átlóinak tulajdonságai. Teljes leckék - Tudáshipermarket. Mi a paralelogramma 1 paralelogramma jellemzői és tulajdonságai a paralelogramma területének

1. A paralelogramma definíciója.

Ha egy pár párhuzamos egyenest metszünk egy másik pár párhuzamos egyenessel, akkor egy négyszöget kapunk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Az ABDC és EFNM négyszögekben (224. ábra) BD || AC és AB || CD;

EF || MN és EM || F.N.

Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.

2. A paralelogramma tulajdonságai.

Tétel. A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja.

Legyen egy ABDC paralelogramma (225. ábra), amelyben AB || CD és AC || BD.

Be kell bizonyítani, hogy az átló két egyenlő háromszögre osztja.

Rajzolj egy CB átlót az ABDC paralelogrammába. Bizonyítsuk be, hogy \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Az ÉK-i oldal közös ezekben a háromszögekben; ∠ABC = ∠BCD, mint belső keresztfekvési szögek párhuzamos AB-vel és CD-vel, valamint a szekáns CB-vel; ∠ACB = ∠CBD, ugyanaz, mint a belső keresztfekvési szögek párhuzamos AC-vel és BD-vel, valamint szekáns CB-vel.

Ezért \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Ugyanígy bebizonyítható, hogy az AD átló a paralelogrammát két egyenlő ACD és ABD háromszögre osztja.

Következmények:

1 . A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek.

∠A = ∠D, ez a CAB és CDB háromszögek egyenlőségéből következik.

Hasonlóképpen ∠C = ∠B.

2. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.

AB \u003d CD és AC \u003d BD, mivel ezek egyenlő háromszögek oldalai és egyenlő szögekkel ellentétesek.

2. tétel. A paralelogramma átlóit metszéspontjukban felezzük.

Legyen BC és AD az ABDC paralelogramma átlói (226. ábra). Bizonyítsuk be, hogy AO = OD és CO = OB.

Ehhez hasonlítsunk össze néhány szemközti háromszögpárt, például \(\Delta\)AOB és \(\Delta\)COD.

Ezekben a háromszögekben AB = CD, mint egy paralelogramma szemközti oldalai;

∠1 = ∠2, mint a belső szögek keresztben, amelyek az AB és CD párhuzamosan fekszenek, és az AD szekáns;

∠3 = ∠4 ugyanezen okból, mivel AB || A CD és a CB a szekánsuk.

Ebből következik, hogy \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD. És egyenlő háromszögekben a szemközti egyenlő szögek egyenlő oldalak. Ezért AO = OD és CO = OB.

3. tétel. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege: 180°.

Rajzoljunk egy AC átlót az ABCD paralelogrammára, és kapjunk két ABC és ADC háromszöget.

A háromszögek egybevágóak, mert ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (párhuzamos vonalakon keresztben fekvő szögek), és az AC oldal közös.
Az \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC egyenlőségből következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyenlő 180°-kal, mint egyoldalú párhuzamos vonalakkal.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. Ez a definíció már elegendő, hiszen a paralelogramma fennmaradó tulajdonságai ebből következnek, és tételek formájában igazolódnak.

A paralelogramma fő tulajdonságai a következők:

• a paralelogramma konvex négyszög;
• egy paralelogramma szemközti oldalai páronként egyenlőek;
• egy paralelogramma ellentétes szögei páronként egyenlők;
• paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

Parallelogramma - konvex négyszög

Először bizonyítsuk be azt a tételt, hogy a paralelogramma egy konvex négyszög. Egy sokszög konvex, ha bármelyik oldalát egyenessé terjesztjük, a sokszög összes többi oldala ennek az egyenesnek ugyanazon az oldalán lesz.

Adjunk meg egy ABCD paralelogrammát, amelyben az AB a CD, a BC pedig az AD szemközti oldala. Ekkor a paralelogramma definíciójából következik, hogy AB || CD, BC || HIRDETÉS.

A párhuzamos szakaszoknak nincs közös pontja, nem metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a CD az AB egyik oldalán fekszik. Mivel a BC szakasz az AB szakasz B pontját a CD szakasz C pontjával, az AD szakasz pedig az AB és CD további pontjait köti össze, a BC és AD szakaszok szintén az AB egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el, ahol CD található. Így mindhárom oldal - CD, BC, AD - az AB ugyanazon az oldalán fekszik.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a paralelogramma másik oldalához képest a másik három oldal ugyanazon az oldalon fekszik.

A szemközti oldalak és a szögek egyenlőek

A paralelogramma egyik tulajdonsága az egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szemközti szögek egyenlőek. Például, ha adott egy ABCD paralelogramma, akkor AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ezt a tételt a következőképpen bizonyítjuk.

A paralelogramma négyszög. Tehát két átlója van. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, bármelyikük két háromszögre osztja. Tekintsük az AC átló megrajzolásával kapott ABCD paralelogrammán az ABC és ADC háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek van egy közös oldaluk - AC. A BCA szög egyenlő a CAD szöggel, csakúgy, mint a párhuzamos BC és AD függőlegesek. A BAC és az ACD szögek szintén egyenlőek, csakúgy, mint a függőleges szögek, amikor AB és CD párhuzamosak. Ezért ∆ABC = ∆ADC két szög és a közöttük lévő oldal felett.

Ezekben a háromszögekben az AB oldal a CD oldalnak, a BC oldal pedig az AD oldalnak felel meg. Ezért AB = CD és BC = AD.

A B szög a D szögnek felel meg, azaz ∠B = ∠D. A paralelogramma A szöge két szög – ∠BAC és ∠CAD – összege. A C egyenlő szög ∠BCA-ból és ∠ACD-ből áll. Mivel a szögpárok egyenlőek egymással, akkor ∠A = ∠C.

Így bebizonyosodott, hogy egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek.

Az átlók félbevágva

Mivel a paralelogramma konvex négyszög, két átlója van, és ezek metszik egymást. Legyen adott egy ABCD paralelogramma, melynek AC és BD átlói egy E pontban metszik egymást. Tekintsük az általuk alkotott ABE és CDE háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek AB és CD oldalai megegyeznek a paralelogramma szemközti oldalaival. Az ABE szög megegyezik a CDE szöggel, mivel az AB és CD párhuzamos egyeneseken fekszenek. Ugyanezen okból ∠BAE = ∠DCE. Ezért ∆ABE = ∆CDE két szög és a közöttük lévő oldal felett.

Azt is észreveheti, hogy az AEB és a CED szögek függőlegesek, ezért egymással is egyenlők.

Mivel az ABE és a CDE háromszögek egyenlőek egymással, így minden hozzájuk tartozó elem is egyenlő. Az első háromszög AE oldala a második CE oldalának felel meg, tehát AE = CE. Hasonlóképpen, BE = DE. Minden pár egyenlő szakasz alkotja a paralelogramma átlóját. Így bebizonyosodott, hogy paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, azaz. párhuzamos egyenesekre fekszenek

A paralelogramma tulajdonságai:
22. tétel. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.
Bizonyíték. Rajzolj egy AC átlót az ABCD paralelogrammába. Az ACD és az ACB háromszögek egybevágóak, mivel közös AC oldaluk és két egyenlő szögpárjuk van. mellette: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (keresztfekvésű szögekként AD és BC párhuzamos egyenesekkel). Ezért AB=CD és BC=AD egyenlő háromszögek megfelelő oldalaiként stb. E háromszögek egyenlősége magában foglalja a háromszögek megfelelő szögeinek egyenlőségét is:
23. tétel. A paralelogramma szemközti szögei: ∠ A=∠ C és ∠ B=∠ D.
Az első pár egyenlősége az ABD és a CBD háromszögek egyenlőségéből származik, a második pedig az ABC és az ACD háromszögek egyenlőségéből.
24. tétel. A paralelogramma szomszédos sarkai, i.e. az egyik oldallal szomszédos szögek 180 fokot adnak össze.
Ez azért van így, mert belső egyoldalú sarkok.
25. tétel. A paralelogramma átlói a metszéspontjukban felezik egymást.
Bizonyíték. Tekintsük a BOC és AOD háromszögeket. Az első tulajdonság szerint AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV és ∠ ОDA=∠ ОВС, mint az AD és BC párhuzamos egyenesekkel keresztben fekvő. Ezért a BOC és AOD háromszögek oldala és szöge egyenlő. Ezért BO=OD és AO=OC, mint egyenlő háromszögek megfelelő oldalai stb.

A párhuzamos diagram jellemzői
26. tétel. Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor ez paralelogramma.
Bizonyíték. Legyen az ABCD négyszög AD és BC, AB és CD oldala egyenlő (2. ábra). Rajzoljuk meg az AC átlót. Az ABC és az ACD háromszögnek három egyenlő oldala van. Ekkor a BAC és a DCA szögek egyenlőek, ezért AB párhuzamos CD-vel. A BC és AD oldalak párhuzamossága a CAD és DIA szögek egyenlőségéből következik.
27. tétel. Ha egy négyszög szemközti szögei páronként egyenlőek, akkor ez paralelogramma.
Legyen ∠ A=∠ C és ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, majd ∠ A+∠ B=180 o és AD és BC oldalak párhuzamosak (párhuzamos egyenesek alapján). Bebizonyítjuk az AB és CD oldalak párhuzamosságát is, és arra a következtetésre jutunk, hogy az ABCD definíció szerint paralelogramma.
28. tétel. Ha a négyszög szomszédos sarkai, i.e. az egyik oldallal szomszédos szögek 180 fokot adnak össze, akkor ez egy paralelogramma.
Ha a belső egyoldali szögek 180 fokot adnak össze, akkor a vonalak párhuzamosak. Ez azt jelenti, hogy AB a CD, BC pedig AD párja. A négyszög definíció szerint paralelogramma.
29. tétel. Ha egy négyszög átlóit a metszéspontban kölcsönösen kettéosztjuk, akkor a négyszög paralelogramma.
Bizonyíték. Ha AO=OC, BO=OD, akkor az AOD és a BOC háromszögek egyenlőek, mivel az O csúcsban egyenlő szögek (függőlegesek) vannak egyenlő oldalpárok közé zárva. A háromszögek egyenlőségéből azt a következtetést vonjuk le, hogy AD és BC egyenlők. Az AB és a CD oldalak is egyenlőek, és a négyszög az 1. jellemző szerint paralelogrammának bizonyul.
30. tétel. Ha egy négyszögnek van egy pár egyenlő, párhuzamos oldala, akkor paralelogramma.
Legyenek az AB és CD oldalak párhuzamosak és egyenlőek az ABCD négyszögben. Rajzolja meg az AC és BD átlókat. Ezen egyenesek párhuzamosságából következik az ABO=CDO és BAO=OCD keresztirányú szögek egyenlősége. Az ABO és CDO háromszögek oldal- és szomszédos szögei egyenlőek. Ezért AO=OC, BO=OD, azaz. a metszéspont átlóit kettéosztjuk, és a négyszög a 4. jellemző szerint paralelogrammává válik.

A geometriában a paralelogramma speciális eseteit veszik figyelembe.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak (233. ábra).

Egy tetszőleges paralelogramma a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.

Bizonyíték. Rajzolj egy AC átlót az ABCD paralelogrammára. Az ACD és AC B háromszögek egyenlőek azzal, hogy közös AC oldaluk van, és két egyenlő szögpár van mellette:

(mint keresztfekvésű szögek AD és BC párhuzamos egyenesekkel). Ezért, és egyenlő háromszögek oldalaiként, amelyek egymással szemben egyenlő szöggel helyezkednek el, amit be kellett bizonyítani.

2. A paralelogramma ellentétes szögei:

3. A paralelogramma szomszédos szögei, azaz az egyik oldallal szomszédos szögek összeadódnak stb.

A 2. és 3. tulajdonság bizonyítása közvetlenül következik a párhuzamos egyeneseknél lévő szögek tulajdonságaiból.

4. A paralelogramma átlói a metszéspontjukban felezik egymást. Más szavakkal,

Bizonyíték. Az AOD és a BOC háromszögek egyenlőek, mivel AD és BC oldalaik egyenlőek (1. tulajdonság), valamint a velük szomszédos szögek (mint párhuzamos vonalakkal keresztezett szögek). Ez magában foglalja a háromszögek megfelelő oldalainak egyenlőségét: AO, amelyet be kellett bizonyítani.

E négy tulajdonság mindegyike jellemzi a paralelogrammát, vagy ahogy mondani szokás, annak jellemző tulajdonsága, azaz minden olyan négyszög, amely legalább egy ilyen tulajdonsággal rendelkezik, paralelogramma (és ezért rendelkezik mind a másik három tulajdonsággal).

A bizonyítást ingatlanonként külön-külön végezzük.

1". Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor paralelogramma.

Bizonyíték. Legyen az ABCD négyszög AD és BC, AB és CD oldala egyenlő (233. ábra). Rajzoljuk meg az AC átlót. Az ABC és CDA háromszögek egybevágóak lesznek, mivel három egyenlő oldalpárral rendelkeznek.

De ekkor a BAC és a DCA szögek egyenlőek és . A BC és AD oldalak párhuzamossága a CAD és DIA szögek egyenlőségéből következik.

2. Ha egy négyszögnek két szemközti szögpárja egyenlő, akkor paralelogramma.

Bizonyíték. Hadd . Mivel mind az AD, mind a BC oldal párhuzamos (párhuzamos egyenesek alapján).

3. A megfogalmazást és a bizonyítást az olvasóra bízzuk.

4. Ha egy négyszög átlóit a metszéspontban kölcsönösen kettéosztjuk, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték. Ha AO \u003d OS, BO \u003d OD (233. ábra), akkor az AOD és a BOC háromszögek egyenlőek, mivel egyenlő szögűek (függőlegesek!) Az O csúcsban, az AO és CO egyenlő oldalú párok közé zárva, BO és BO és DO. A háromszögek egyenlőségéből azt a következtetést vonjuk le, hogy az AD és a BC oldalak egyenlőek. Az AB és a CD oldalak is egyenlők, és a négyszög a Г jellemző tulajdonság szerint paralelogrammának bizonyul.

Így annak bizonyításához, hogy egy adott négyszög paralelogramma, elegendő a négy tulajdonság bármelyikének érvényességét ellenőrizni. Felkérjük az olvasót, hogy önállóan bizonyítson a paralelogramma egy további jellemző tulajdonságában.

5. Ha egy négyszögnek van egy pár egyenlő, párhuzamos oldala, akkor paralelogramma.

Néha a paralelogramma bármely párhuzamos oldalpárját alapjainak, míg a másik kettőt oldaloldalnak nevezik. A paralelogramma két oldalára merőleges, közéjük zárt egyenes szakaszát a paralelogramma magasságának nevezzük. ábrán látható paralelogramma. A 234-nek AD és BC oldalára h magassága van, a második magasságát egy szakasz jelöli.

Meghatározás

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Tétel (a paralelogramma első jele)

Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték

Legyenek az \(ABCD\) négyszög \(AB\) és \(CD\) oldalai párhuzamosak és \(AB = CD\) .

Rajzolj egy \(AC\) átlót, amely az adott négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: \(ABC\) és \(CDA\) . Ezeknek a háromszögeknek két oldala egyenlő, és a köztük lévő szög (\(AC\) a közös oldal, \(AB = CD\) feltétel szerint, \(\angle 1 = \angle 2\), mint a keresztben fekvő szögek párhuzamos egyenesek \ (AB\) és \(CD\) metszéspontja \(AC\) ), tehát \(\angle 3 = \angle 4\) . De a \(3\) és \(4\) szögek keresztben fekszenek az \(AC\) szekáns \(AD\) és \(BC\) egyeneseinek metszéspontjában, tehát \(AD\parallel BC \) . Így az \(ABCD\) négyszögben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak, így az \(ABCD\) négyszög paralelogramma.

Tétel (a paralelogramma második jellemzője)

Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték

Rajzolja meg az adott \(ABCD\) négyszög \(AC\) átlóját, és osztja fel \(ABC\) és \(CDA\) háromszögekre.

Ezeknek a háromszögeknek három oldala egyenlő (\(AC\) közös, \(AB = CD\) és \(BC = DA\) feltételezés szerint, tehát a \(\angle 1 = \angle 2\) keresztben fekszik a \(AB\) és \(CD\) és a szekáns \(AC\) . Ebből következik, hogy \(AB\parallel CD\) . Mivel \(AB = CD\) és \(AB\parallel CD\) , ezért a paralelogramma első kritériuma szerint az \(ABCD\) négyszög paralelogramma.

Tétel (a paralelogramma harmadik jele)

Ha egy négyszögben az átlók metszik egymást, és a metszéspontot felezzük, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték

Tekintsünk egy \(ABCD\) négyszöget, amelyben az \(AC\) és \(BD\) átlók az \(O\) pontban metszik egymást, és felezi ezt a pontot.

A \(AOB\) és \(COD\) háromszögek egyenlőek a háromszögek egyenlőségének első feltételével (\(AO = OC\) , \(BO = OD\) feltétel szerint, \(\angle AOB = \angle COD) \) függőleges sarkokként), tehát \(AB = CD\) és \(\angle 1 = \angle 2\) . A \(1\) és \(2\) szögek egyenlőségéből (az \(AB\) és \(CD\) és a szekáns \(AC\) ) egyenlőségéből az következik, hogy \(AB\párhuzamos CD\) .

Tehát az \(ABCD\) négyszögben az \(AB\) és \(CD\) oldalak egyenlőek és párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy a paralelogramma első jelével az \(ABCD\) négyszög egy paralelogramma.

A paralelogramma tulajdonságai:

1. Egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek és a szemközti szögek egyenlőek.

2. A paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

A paralelogramma felezőjének tulajdonságai:

1. A paralelogramma felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle.

2. A paralelogramma szomszédos szögeinek felezőelemei derékszögben metszik egymást.

3. A szemközti szögű felező szakaszok egyenlőek és párhuzamosak.

Bizonyíték

1) Legyen \(ABCD\) paralelogramma, \(AE\) a \(BAD\) szög felezője.

A \(1\) és \(2\) szögek egyenlőek, mivel a \(AD\) és \(BC\) párhuzamos egyeneseken, valamint a \(AE\) szekánson kereszteződnek. A \(1\) és \(3\) szögek egyenlőek, mert \(AE\) felező. Végül is \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\), amiből az következik, hogy az \(ABE\) háromszög egyenlő szárú.

2) Legyen \(ABCD\) paralelogramma, \(AN\) és \(BM\) a \(BAD\) és \(ABC\) szögfelezők.

Mivel az egyoldali szögek összege párhuzamos egyeneseknél és egy szekánsnál \(180^(\circ)\) , akkor \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).

Mivel \(AN\) és \(BM\) felezők, akkor \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), ahol \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).

3. Legyen \(AN\) és \(CM\) az \(ABCD\) paralelogramma szögfelezői.

Mivel a paralelogrammában a szemközti szögek egyenlőek, \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\). Ezenkívül a \(1\) és \(3\) szögek egyenlőek, mintha \(AD\) és \(BC\) párhuzamos egyeneseken és a \(CM\) szekánson lennének, majd \(\angle 2 = \angle 3\) , ami azt jelenti, hogy \(AN\parallel CM\) . Továbbá \(AM\parallel CN\) , akkor \(ANCM\) egy paralelogramma, tehát \(AN = CM\) .