Számítsa ki a függvények által határolt területet! Egy görbe vonalú trapéz területe. És most a munkaképlet

A feladat iskolai, de ennek ellenére majdnem 100%-ban megfelel a felsőfokú matematika kurzusának. Ezért teljes komolysággal MINDEN példát kezelünk, és az első dolog, hogy megismerkedjen Alkalmazás Függvénygrafikonok hogy felfrissítse az elemi gráfok felépítésének technikáját. …Eszik? Nagy! Egy tipikus feladatmeghatározás a következő:

10. példa
.

ÉS első nagy lépés megoldásokat csak abban áll rajz felépítése. Ennek ellenére a következő sorrendet javaslom: először jobb mindent megépíteni egyenes(ha van) és csak Akkor – parabolák, túlzás, egyéb függvények grafikonjai.

Feladatunkban: egyenes meghatározza a tengelyt egyenes tengellyel párhuzamos és parabola tengelyre szimmetrikus, ehhez több referenciapontot találunk:

Kívánatos a kívánt alak kikelése:

Második fázis az, hogy helyesen összeállítaniÉs számolj helyesen határozott integrál. A szegmensen a függvény grafikonja található tengely felett, tehát a szükséges terület:

Válasz:

A feladat elvégzése után érdemes megnézni a tervrajzot
és nézd meg, reális-e a válasz.

És "szemmel" megszámoljuk az árnyékolt cellák számát - nos, körülbelül 9 lesz beírva, úgy tűnik, igaz. Teljesen világos, hogy ha mondjuk 20 négyzetegységünk volt, akkor nyilvánvalóan valahol hiba történt - 20 cella nyilvánvalóan nem fér bele a megszerkesztett ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

11. példa
Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét! és tengely

Gyorsan felmelegítünk (szükséges!) És figyelembe vesszük a „tükör” helyzetet - amikor a görbe trapéz található tengely alatt:

12. példa
Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: találjon több referenciapontot a kitevő összeállításához:

és hajtsa végre a rajzot, és egy körülbelül két cella területű ábrát kap:

Ha a görbe vonalú trapéz található nem magasabb tengely , akkor területe a következő képlettel kereshető: .
Ebben az esetben:

Válasz: - nos, nagyon-nagyon hasonlít az igazsághoz.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is található, ezért a legegyszerűbb iskolai problémáktól kezdve áttérünk az értelmesebb példákra:

13. példa
Keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet vonalak határolnak, .

Megoldás: először be kell fejezni a rajzot, míg minket különösen érdekelnek a parabola és az egyenes metszéspontjai, mivel ott lesznek integrációs korlátok. Kétféleképpen találhatja meg őket. Az első módszer analitikus. Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:

És így:

Méltóság analitikai módszer abban áll pontosság, A hiba- V időtartama(és ebben a példában még szerencsénk van). Ezért sok feladatban kifizetődőbb pontról pontra vonalakat építeni, miközben az integráció határai „maguktól” derülnek ki.

Egy egyenes vonallal minden világos, de egy parabola felépítéséhez kényelmes megtalálni a csúcsát, ehhez vesszük a deriváltot, és egyenlővé tesszük nullával:
- ez az a pont, ahol a teteje található. És a parabola szimmetriája miatt a „bal-jobb” elv szerint megtaláljuk a fennmaradó referenciapontokat:

Készítsünk rajzot:

És most a munkaképlet: ha az intervallumon néhány folyamatos funkció nagyobb vagy egyenlő folyamatos függvények, akkor ezen függvények és vonalszakaszok grafikonjai által határolt ábra területe a következő képlettel kereshető:

Itt már nem kell arra gondolni, hogy az ábra hol található - a tengely felett vagy a tengely alatt, hanem durván szólva, számít, hogy a két grafikon közül melyik van FENT.

Példánkban nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A megoldás befejezése így nézhet ki:

A szegmensen: , a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Megjegyzendő, hogy a bekezdés elején tárgyalt egyszerű képletek a képlet speciális esetei . Mivel a tengelyt az egyenlet adja, akkor az egyik függvény nulla lesz, és attól függően, hogy a görbe trapéz fent vagy alatt van, megkapjuk a képletet vagy

És most néhány tipikus feladat az önálló megoldáshoz

14. példa
Keresse meg a vonallal határolt ábrák területét:

Megoldás rajzokkal és rövid megjegyzésekkel a könyv végén

A vizsgált probléma megoldása során néha megtörténik egy-egy vicces eset. A rajz helyesen készült, az integrál helyesen megoldott, de figyelmetlenség miatt ... rossz figura területét találta meg, így tévedett többször engedelmes szolgád. Íme egy valós eset:

15. példa
Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!

Megoldás: készítsünk egy egyszerű rajzot,

aminek a trükkje az a kívánt terület zölddel van árnyékolva(gondosan nézze meg a feltételt - mennyire korlátozott a szám!). De a gyakorlatban a figyelmetlenség miatt gyakran előfordul egy „hiba”, hogy meg kell találnia az ábra szürkével árnyékolt területét! Külön alattomosság, hogy a vonalat alul lehet húzni a tengelyig, és akkor egyáltalán nem fogjuk látni a kívánt alakot.

Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy az ábra területét két határozott integrál segítségével számítják ki. Igazán:

1) a tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikon;
2) a tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.

Teljesen egyértelmű, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni:

Válasz:

És egy tájékoztató példa egy független megoldásra:

16. példa
Számítsa ki az ábra vonalak, , és koordinátatengelyek által határolt területét.

Tehát rendszerezzük ennek a feladatnak a fontos pontjait:

Az első lépésnélÓVATOSAN tanulmányozza a feltételt – MILYEN funkciókat kapunk? Hibák még itt is előfordulnak, különösen ívben nak nek Az érintőt gyakran összetévesztik az ív érintővel. Ez egyébként más olyan feladatokra is vonatkozik, ahol az arctangens előfordul.

További a rajzot HELYESEN kell elkészíteni. Jobb először építeni egyenes(ha van), akkor a többi függvény grafikonja (ha van J). Ez utóbbiak építése sok esetben jövedelmezőbb pontról pontra- találjon több rögzítési pontot, és óvatosan kösse össze őket egy vonallal.

De itt a következő nehézségek leselkedhetnek. Először is, ez nem mindig derül ki a rajzból integrációs korlátok- ez akkor történik, ha töredékesek. A mathprofi.ru oldalon: vonatkozó cikk Példának tekintettem egy parabolával és egy egyenessel, ahol az egyik metszéspontjuk nem derül ki a rajzból. Ilyen esetekben az analitikai módszert kell használni, elkészítjük az egyenletet:

és megtalálja a gyökereit:
– az integráció alsó határa, – felső határ.

A rajz felépítése után, elemezze a kapott ábrát – még egyszer vessen egy pillantást a javasolt függvényekre, és ellenőrizze, hogy EZ egy ábra-e. Ezután elemezzük az alakját és elhelyezkedését, előfordul, hogy elég bonyolult a terület, és akkor két, vagy akár három részre kell osztani.

Határozott integrált alkotunk vagy több integrál a képlet szerint , fentebb elemeztük az összes főbb változatot.

Megoldunk egy határozott integrált(s). Ugyanakkor ez meglehetősen bonyolultnak bizonyulhat, és akkor egy fázisos algoritmust alkalmazunk: 1) keresse meg az antiderivált és ellenőrizze azt differenciálással, 2) A Newton-Leibniz képletet használjuk.

Az eredményt hasznos ellenőrizni szoftver/online szolgáltatások használatával, vagy egyszerűen „becsülj” a rajz szerint cellák szerint. De mindkettő nem mindig kivitelezhető, ezért rendkívül figyelmesek vagyunk a megoldás minden szakaszára!

A tanfolyam teljes és naprakész változata pdf formátumban,
valamint más témájú kurzusok is megtalálhatók.

Azt is megteheti - egyszerű, megfizethető, szórakoztató és ingyenes!

Üdvözlettel: Alexander Emelin

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét!.

Megoldás.

Megkeressük az adott egyenesek metszéspontjait. Ehhez megoldjuk az egyenletrendszert:

Az adott egyenesek metszéspontjainak abszcisszáinak megtalálásához az egyenletet oldjuk meg:

Találunk: x 1 = -2, x 2 = 4.

Tehát ezek az egyenesek, amelyek egy parabola és egy egyenes, pontokban metszik egymást A(-2; 0), B(4; 6).

Ezek a vonalak egy zárt ábrát alkotnak, amelynek területét a fenti képlettel számítjuk ki:

A Newton-Leibniz képlet szerint a következőket kapjuk:

Keresse meg egy ellipszis által határolt terület területét.

Megoldás.

Az I kvadráns ellipszis egyenletéből kapjuk. Innen a képlet szerint azt kapjuk

Alkalmazzuk a helyettesítést x = a bűn t, dx = a kötözősaláta t dt. Az integráció új korlátai t = α És t = β a 0 = egyenletekből határozzuk meg a bűn t, a = a bűn t. Feltehető α = 0 és β = π /2.

A szükséges terület negyedét megtaláljuk

Innen S = pab.

Keresse meg egy alakzat vonallal határolt területéty = - x 2 + x + 4 ésy = - x + 1.

Megoldás.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjait! y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, az egyenesek ordinátáinak egyenlítése: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 vagy x 2 - 2x- 3 = 0. Keresse meg a gyökereket x 1 = -1, x 2 = 3 és a hozzájuk tartozó ordináták y 1 = 2, y 2 = -2.

Az ábra területi képletével azt kapjuk

Keresse meg a parabola által bezárt területet!y = x 2 + 1 és közvetlenx + y = 3.

Megoldás.

Az egyenletrendszer megoldása

keresse meg a metszéspontok abszcisszáit x 1 = -2 és x 2 = 1.

Feltételezve y 2 = 3 - xÉs y 1 = x 2 + 1, a kapott képlet alapján

Számítsa ki a Bernoulli-lemniszkátuson belüli területet!r 2 = a 2 kötözősaláta 2 φ .

Megoldás.

A poláris koordináta-rendszerben az ábra területe, amelyet a görbe íve határol r = f(φ ) és két poláris sugár φ 1 = ʅ És φ 2 = ʆ , az integrál fejezi ki

A görbe szimmetriája miatt először meghatározzuk a kívánt terület egynegyedét

Ezért a teljes terület S = a 2 .

Számítsa ki egy astroid ívhosszát!x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Megoldás.

Az astroid egyenletét a formába írjuk

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Tegyük fel x 1/3 = a 1/3 költség t, y 1/3 = a 1/3 bűn t.

Innen megkapjuk az astroid paraméteres egyenleteit

x = a cos 3 t, y = a bűn 3 t, (*)

ahol 0 ≤ t ≤ 2π .

Tekintettel a görbe szimmetriájára (*), elegendő az ívhossz egynegyedét megtalálni L a paraméterváltozásnak megfelelően t 0-tól π /2.

Kapunk

dx = -3a cos 2 t bűn t dt, dy = 3a bűn 2 t kötözősaláta t dt.

Innen találjuk

Az eredményül kapott kifejezés integrálása a 0 és a tartományba π /2, kapjuk

Innen L = 6a.

Keresse meg az Arkhimédész spirálja által határolt területetr = aφ és két sugárvektor, amelyek poláris szögeknek felelnek megφ 1 Ésφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Megoldás.

Görbével határolt terület r = f(φ ) képlettel számítható ki, ahol α És β - a polárszög változásának határai.

Így kapunk

(*)

A (*)-ból az következik, hogy a sarki tengely és az Archimedes-spirál első fordulója által határolt terület ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Hasonlóképpen megtaláljuk az Arkhimédész spirál sarki tengelye és második fordulata által határolt területet ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

A szükséges terület egyenlő ezen területek különbségével

Számítsa ki a tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát!Ökör parabolákkal határolt ábray = x 2 Ésx = y 2 .

Megoldás.

Oldjuk meg az egyenletrendszert

és kap x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, innen a görbék metszéspontjai O(0; 0), B(tizenegy). Amint az ábrán látható, a forgástest kívánt térfogata megegyezik a tengely körüli elforgatással képzett két térfogat különbségével. Ökör görbe vonalú trapézok OCBAÉs ODBA:

Számítsa ki a tengely által határolt területet!Ökör és szinuszosy = bűnx szegmenseken: a); b) .

Megoldás.

a) A szakaszon a sin függvény x megőrzi a jelet, és ezért a képlet szerint, feltételezve y= bűn x, találunk

b) A szakaszon a sin függvény x jelét változtatja. A probléma helyes megoldásához a szegmenst két részre kell osztani és [ π , 2π ], amelyek mindegyikében a függvény megtartja előjelét.

A jelek szabálya szerint a szakaszon [ π , 2π ] területet mínuszjellel veszik.

Ennek eredményeként a kívánt terület egyenlő

Határozza meg az ellipszis forgásából kapott felület által határolt test térfogatát!a nagy tengely körüla .

Megoldás.

Tekintettel arra, hogy az ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, elegendő megtalálni a tengely körüli elforgatással képzett térfogatot Ökör terület OAB, egyenlő az ellipszis területének egynegyedével, és megduplázza az eredményt.

Jelöljük az átmenő forgástest térfogatát V x; akkor a képlet alapján van , ahol 0 és a- pontok abszcisszái BÉs A. Az ellipszis egyenletéből azt kapjuk, hogy . Innen

Így a szükséges térfogat egyenlő . (Ha az ellipszis a melléktengely körül forog b, a test térfogata )

Keresse meg a parabolákkal határolt területet!y 2 = 2 px Ésx 2 = 2 py .

Megoldás.

Először keressük meg a parabolák metszéspontjainak koordinátáit, hogy meghatározzuk az integrációs intervallumot. Az eredeti egyenleteket átalakítva megkapjuk és . Ezeket az értékeket egyenlővé téve azt kapjuk, hogy ill x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Megtaláljuk az egyenletek gyökereit:

Figyelembe véve azt a tényt, hogy a lényeg A a parabolák metszéspontja az első negyedben van, majd az integráció határai x= 0 és x = 2p.

A kívánt területet a képlet találja meg

Tekintsünk egy görbe vonalú trapézt, amelyet az Ox tengely határol, egy y \u003d f (x) görbét és két egyenest: x \u003d a és x \u003d b (85. ábra). Vegyünk egy tetszőleges x értéket (csak ne a és ne b). Adjunk neki egy h = dx növekményt, és tekintsünk egy sávot, amelyet AB és CD egyenesek, az Ox tengely és a vizsgált görbéhez tartozó BD ív határol. Ezt a csíkot elemi csíknak nevezzük. Egy elemi szalag területe az ACQB téglalap területétől egy görbe vonalú BQD háromszöggel tér el, és az utóbbi területe kisebb, mint a BQDM téglalap területe, amelynek oldalai BQ = =h= dx) QD=Ay és terület egyenlő haAy = Ay dx. Ahogy a h oldal csökken, a Du oldal is csökken, és a h-val egyidejűleg nullára hajlik. Ezért a BQDM területe végtelenül kicsi a másodrendűhez képest. Az elemi sáv területe a terület növekménye, az ACQB téglalap területe pedig, egyenlő az AB-AC==/(x) dx> területi különbséggel. Ezért magát a területet a differenciáljának integrálásával találjuk meg. A vizsgált ábra keretein belül az l: független változó a-ról b-re változik, így a szükséges 5 terület 5= \f (x) dx lesz. (I) 1. példa. Számítsa ki az y - 1 -x * parabola, az X \u003d - Fj-, x \u003d 1 egyenesek és az O * tengely által határolt területet (86. ábra). ábrán 87. ábra. 86. 1 Itt f(x) = 1 - l?, az integráció határai a = - és t = 1, ezért 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2. példa Számítsa ki a szinuszos által határolt területet y = sinXy, az Ox tengely és az egyenes (87. ábra). Az (I) képlet alkalmazásával L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf az Ox tengellyel (például az origó és az i abszcissza pont között). Vegye figyelembe, hogy geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy ez a terület kétszer akkora lesz, mint az előző példa. Azonban végezzük el a számításokat: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Valóban, a feltevésünk igazságosnak bizonyult. 4. példa Számítsa ki a szinusz és az Ox ^ tengely által határolt területet egy perióduson (88. ábra). Az előzetes ras-figure ítéletek azt sugallják, hogy a terület négyszer nagyobb lesz, mint a 2. pr.-ben. A számítások elvégzése után azonban azt kapjuk, hogy „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ez az eredmény pontosítást igényel. A dolog lényegének tisztázása érdekében kiszámítjuk azt a területet is, amelyet ugyanaz a szinuszos y \u003d sin l: és az l-től 2n-ig terjedő Ox tengely határol. Az (I) képlet alkalmazásával kapjuk Így azt látjuk, hogy ez a terület negatívnak bizonyult. Összehasonlítva a 3. példában számított területtel, azt találjuk, hogy abszolút értékeik azonosak, de az előjelek eltérőek. Ha az V. tulajdonságot alkalmazzuk (lásd XI. fejezet, 4. §), akkor véletlenül kapjuk. Mindig az x tengely alatti területet, feltéve, hogy a független változó balról jobbra változik, negatív integrálok használatával kapjuk meg. Ezen a tanfolyamon mindig figyelembe vesszük az alá nem írt területeket. Ezért az imént elemzett példában a válasz a következő lesz: a szükséges terület egyenlő 2 + |-2| = 4. Példa 5. Számítsuk ki az ábrán látható BAB területét! 89. Ezt a területet az Ox tengely, az y = - xr parabola és az y - = -x + \ egyenes korlátozza. Egy görbe vonalú trapéz területe A keresett OAB terület két részből áll: OAM és MAB. Mivel az A pont a parabola és az egyenes metszéspontja, a koordinátáit a 3 2 Y \u003d mx egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. (csak meg kell találnunk az A pont abszcisszáját). A rendszert megoldva azt találjuk, hogy l; =~. Ezért a területet részletekben kell kiszámítani, először pl. OAM, majd pl. MÁV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x, és nem változtatja meg rajta az előjelét (1. ábra). A görbe vonalú trapéz területét S(G) jelölhetjük.

Az f(x) függvény ʃ a b f(x)dx határozott integrálja, amely folytonos és nem negatív az [a; b], és a megfelelő görbe vonalú trapéz területe.

Azaz ahhoz, hogy megtaláljuk a G ábra területét, amelyet az y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a és x \u003d b vonal határol, ki kell számítani a határozott integrál ʃ a b f (x) dx.

És így, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Ha az y = f(x) függvény nem pozitív [a; b], akkor a görbe vonalú trapéz területe megtalálható a képlettel S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

1. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet y \u003d x 3 vonalak határolnak; y = 1; x = 2.

Megoldás.

A megadott vonalak alkotják az ABC ábrát, amelyet sraffozással mutatunk be rizs. 2.

A kívánt terület egyenlő a DACE görbe vonalú trapéz és a DABE négyzet területei közötti különbséggel.

Az S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) képlet segítségével megtaláljuk az integráció határait. Ehhez két egyenletrendszert oldunk meg:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Így van x 1 \u003d 1 - az alsó határ és x \u003d 2 - a felső határ.

Tehát S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (négyzetegységek).

Válasz: 11/4 négyzetméter. egységek

2. példa

Számítsa ki az y \u003d √x vonalak által határolt ábra területét; y = 2; x = 9.

Megoldás.

A megadott egyenesek alkotják az ABC ábrát, amelyet felülről a függvény grafikonja határol

y \u003d √x, alulról pedig az y \u003d 2 függvény grafikonja. Az eredményül kapott ábrát sraffozással mutatjuk be rizs. 3.

A kívánt terület egyenlő: S = ʃ a b (√x - 2). Határozzuk meg az integráció határait: b = 9, a megtalálásához két egyenletrendszert oldunk meg:

(y = √x,
(y = 2.

Így van, hogy x = 4 = a az alsó határ.

Tehát S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (négyzetegységek).

Válasz: S = 2 2/3 négyzetméter. egységek

3. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet az y \u003d x 3 - 4x vonalak határolnak; y = 0; x ≥ 0.

Megoldás.

Ábrázoljuk az y \u003d x 3 - 4x függvényt x ≥ 0 esetén. Ehhez keressük meg az y ' deriváltot:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 х = ±2/√3 ≈ 1,1-nél a kritikus pontok.

Ha a valós tengelyen ábrázoljuk a kritikus pontokat, és elhelyezzük a derivált előjeleit, akkor azt kapjuk, hogy a függvény nulláról 2/√3-ra csökken, 2/√3-ról plusz végtelenre nő. Ekkor x = 2/√3 a minimumpont, az y függvény minimális értéke min = -16/(3√3) ≈ -3.

Határozzuk meg a grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait:

ha x \u003d 0, akkor y \u003d 0, ami azt jelenti, hogy A (0; 0) az Oy tengellyel való metszéspont;

ha y \u003d 0, akkor x 3 - 4x \u003d 0 vagy x (x 2 - 4) \u003d 0, vagy x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, ahonnan x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nem megfelelő, mert x ≥ 0).

Az A(0; 0) és B(2; 0) pontok a grafikonnak az Ox tengellyel való metszéspontjai.

A megadott vonalak alkotják az OAB ábrát, amelyet sraffozással mutatunk be rizs. 4.

Mivel az y \u003d x 3 - 4x függvény (0; 2) negatív értéket vesz fel, akkor

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Van: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, ahonnan S = 4 négyzetméter. egységek

Válasz: S = 4 négyzetméter. egységek

4. példa

Keresse meg az ábra területét, amelyet az y parabola \u003d 2x 2 - 2x + 1, az egyenesek x \u003d 0, y \u003d 0 és ennek a parabolának az érintőjét az abszcissza x 0 \u003d pontban határolják 2.

Megoldás.

Először összeállítjuk az y parabola érintőjének egyenletét y \u003d 2x 2 - 2x + 1 abban a pontban, ahol az abszcissza x₀ \u003d 2.

Mivel az y' = 4x - 2 derivált, akkor x 0 = 2 esetén k = y'(2) = 6.

Határozzuk meg az érintési pont ordinátáját: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Ezért az érintőegyenlet alakja: y - 5 \u003d 6 (x - 2) vagy y \u003d 6x - 7.

Építsünk egy vonallal határolt ábrát:

y = 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x = 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. A koordinátatengelyekkel való metszéspontok: A(0; 1) - az Oy tengellyel; az Ox tengellyel - nincsenek metszéspontok, mert a 2x 2 - 2x + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldása (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, vagyis a B parabolapont csúcsának B koordinátái vannak (1/2; 1/2).

Tehát azt az ábrát, amelynek területét meg kell határozni, a sraffozás mutatja rizs. 5.

A következőkkel rendelkezünk: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Keresse meg a D pont koordinátáit a következő feltételből:

6x - 7 = 0, azaz x \u003d 7/6, majd DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

A DBC háromszög területét az S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC képlettel találjuk meg. És így,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 négyzetméter. egységek

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (négyzetegység).

Végül megkapjuk: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (négyzetegység).

Válasz: S = 1 1/4 négyzetméter. egységek

Áttekintettük a példákat adott vonalak által határolt ábrák területeinek megtalálása. Az ilyen problémák sikeres megoldásához képesnek kell lennie egy síkon vonalakat és függvénygrafikonokat építeni, meg kell találnia az egyenesek metszéspontjait, képletet kell alkalmaznia a terület megtalálásához, ami magában foglalja bizonyos integrálok kiszámításának képességét és készségeit.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.