A képlet egyenlő a számtani progresszió különbségével. Hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét: képletek és megoldási példák. Aritmetikai progresszió. röviden a főről

IV Jakovlev | Matematikai anyagok | MathUs.ru

Aritmetikai progresszió

Az aritmetikai sorozat egy speciális sorozat. Ezért az aritmetikai (majd a geometriai) progresszió meghatározása előtt röviden meg kell tárgyalnunk a számsorozat fontos fogalmát.

Utóbbi

Képzeljen el egy készüléket, amelynek képernyőjén néhány szám egymás után jelenik meg. mondjuk 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Egy ilyen számhalmaz csak egy példa egy sorozatra.

Meghatározás. A numerikus sorozat olyan számkészlet, amelyben minden számhoz egyedi szám rendelhető (vagyis egyetlen természetes számmal illeszthető)1. Az n számú számot a sorozat n-edik tagjának nevezzük.

Tehát a fenti példában az első szám 2-es számmal rendelkezik, amely a sorozat első tagja, amelyet a1-gyel jelölhetünk; az ötös szám a 6-os szám, amely a sorozat ötödik tagja, amelyet a5-tel jelölhetünk. Általában egy sorozat n-edik tagját an (vagy bn , cn stb.) jelöljük.

Nagyon kényelmes helyzet az, amikor a sorozat n-edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például az an = 2n 3 képlet a következő sorrendet adja meg: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Az an = (1)n képlet határozza meg a sorozatot: 1; 1; 1; 1; : : :

Nem minden számhalmaz egy sorozat. Tehát egy szegmens nem sorozat; ¾túl sok¿ számot tartalmaz az újraszámozáshoz. Az összes valós szám R halmaza szintén nem sorozat. Ezeket a tényeket a matematikai elemzés során bizonyítjuk.

Aritmetikai progresszió: alapdefiníciók

Most készen állunk egy aritmetikai progresszió meghatározására.

Meghatározás. Az aritmetikai sorozat egy olyan sorozat, amelyben minden tag (a másodiktól kezdve) egyenlő az előző tag és valamilyen rögzített szám (az aritmetikai sorozat különbségének) összegével.

Például a 2. szekvencia; 5; 8; tizenegy; : : : egy aritmetikai sorozat az első taggal 2 és a különbséggel 3. Sorozat 7; 2; 3; 8; : : : egy aritmetikai progresszió az első taggal 7 és a különbséggel 5. Sorozat 3; 3; 3; A : : : egy aritmetikai sorozat nulla eltéréssel.

Egyenértékű definíció: Egy an sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk, ha az an+1 an különbség állandó érték (nem függ n-től).

Egy aritmetikai progressziót növekvőnek mondunk, ha a különbsége pozitív, és csökkenőnek, ha a különbsége negatív.

1 És itt van egy tömörebb definíció: a sorozat a természetes számok halmazán definiált függvény. Például a valós számok sorozata az f függvény: N! R.

Alapértelmezés szerint a sorozatokat végtelennek tekintjük, azaz végtelen számú számot tartalmaznak. De senki sem törődik azzal, hogy a véges sorozatokat is figyelembe vegye; valójában minden véges számhalmaz nevezhető véges sorozatnak. Például a végső szekvencia 1; 2; 3; 4; Az 5 öt számból áll.

A számtani sorozat n-edik tagjának képlete

Könnyen megérthető, hogy az aritmetikai progressziót teljesen két szám határozza meg: az első tag és a különbség. Felmerül tehát a kérdés: az első tag és a különbség ismeretében hogyan találhatunk egy aritmetikai sorozat tetszőleges tagját?

Nem nehéz megszerezni a kívánt képletet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjára. Legyen egy

Feladat 1. Számtani sorozatban 2; 5; 8; tizenegy; : : : keresse meg az n-edik tag képletét és számítsa ki a századik tagot.

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

A számtani progresszió tulajdonsága és jele

egy aritmetikai sorozat tulajdonsága. A számtani progresszióban an bármely

Más szóval, a számtani sorozat minden tagja (a másodiktól kezdve) a szomszédos tagok számtani átlaga.

ami kellett.

Általánosságban elmondható, hogy az an aritmetikai progresszió kielégíti az egyenlőséget

a n = a n k + a n+k

bármely n > 2 és bármely természetes k esetén< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Kiderült, hogy a (2) képlet nemcsak szükséges, hanem elégséges feltétele is annak, hogy egy sorozat aritmetikai sorozat legyen.

A számtani sorozat jele. Ha a (2) egyenlőség minden n > 2-re teljesül, akkor az an sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyíték. Írjuk át a (2) képletet a következőképpen:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Ez azt mutatja, hogy az an+1 an különbség nem függ n-től, és ez csak azt jelenti, hogy az an sorozat egy aritmetikai progresszió.

Egy aritmetikai sorozat tulajdonsága és előjele egyetlen állításként is megfogalmazható; a kényelem kedvéért ezt három számra tesszük (ez a helyzet gyakran előfordul a problémáknál).

Egy aritmetikai sorozat jellemzése. Három a, b, c szám akkor és csak akkor alkot számtani sorozatot, ha 2b = a + c.

2. feladat (Moszkvai Állami Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar, 2007) Három szám 8x, 3 x2 és 4 a megadott sorrendben csökkenő számtani sorozatot alkot. Keresse meg x-et, és írja fel ennek a haladásnak a különbségét.

Megoldás. Az aritmetikai progresszió tulajdonsága alapján a következőket kapjuk:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x=5:

Ha x = 1, akkor 6-os különbséggel 8, 2, 4 csökkenő progressziót kapunk. Ha x = 5, akkor 40, 22, 4 növekvő progressziót kapunk; ez az eset nem működik.

Válasz: x = 1, a különbség 6.

Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege

A legenda szerint egyszer a tanár azt mondta a gyerekeknek, hogy találják meg a számok összegét 1-től 100-ig, és leültek csendesen újságot olvasni. Néhány percen belül azonban az egyik fiú azt mondta, hogy megoldotta a problémát. A 9 éves Carl Friedrich Gauss volt, aki később a történelem egyik legnagyobb matematikusa.

A kis Gauss ötlete ez volt. Hadd

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Írjuk fel ezt az összeget fordított sorrendben:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

és add hozzá ezt a két képletet:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Minden zárójelben lévő tag 101-nek felel meg, és összesen 100 ilyen kifejezés van.

2S = 101 100 = 10100;

Ezt az ötletet használjuk az összegképlet származtatására

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

A (3) képlet hasznos módosítását kapjuk, ha az n-edik tag képletét an = a1 + (n 1)d behelyettesítjük:

3. feladat Keresse meg az összes pozitív háromjegyű szám 13-mal osztható összegét!

Megoldás. A 13 többszörösei háromjegyű számok aritmetikai sorozatot alkotnak, az első tag 104 és a különbség 13; Ennek a progressziónak az n-edik tagja:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Nézzük meg, hány tagot tartalmaz a fejlődésünk. Ehhez megoldjuk az egyenlőtlenséget:

egy 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Tehát 69 tag van a fejlődésünkben. A (4) képlet alapján megtaláljuk a szükséges mennyiséget:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Sokan hallottak már a számtani progresszióról, de nem mindenki tudja jól, mi az. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő definíciót, és megvizsgáljuk azt a kérdést is, hogyan lehet megtalálni az aritmetikai progresszió különbségét, és számos példát adunk.

Matematikai meghatározás

Tehát, ha aritmetikai vagy algebrai progresszióról beszélünk (ezek a fogalmak ugyanazt definiálják), akkor ez azt jelenti, hogy van néhány számsor, amely eleget tesz a következő törvénynek: a sorozatban minden két szomszédos szám azonos értékkel tér el. Matematikailag ez így van leírva:

Itt n az a n elem számát jelenti a sorozatban, a d pedig a progresszió különbségét (a neve a bemutatott képletből következik).

Mit jelent a d különbség ismerete? Arról, hogy milyen messze vannak egymástól a szomszédos számok. A d ismerete azonban szükséges, de nem elégséges feltétele a teljes progresszió meghatározásának (helyreállításának). Tudnia kell még egy számot, amely a szóban forgó sorozat bármely eleme lehet, például egy 4, a10, de általában az első számot használják, azaz 1-et.

Képletek a progresszió elemeinek meghatározásához

Általánosságban elmondható, hogy a fenti információk már elegendőek a konkrét problémák megoldásához. Mindazonáltal, mielőtt egy aritmetikai sorozatot megadnánk, és meg kell találni a különbségét, bemutatunk néhány hasznos képletet, megkönnyítve ezzel a későbbi feladatmegoldási folyamatot.

Könnyen kimutatható, hogy az n számú sorozat bármely eleme megtalálható a következőképpen:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Valóban, ezt a képletet mindenki ellenőrizheti egyszerű felsorolással: ha n = 1-et helyettesítünk, akkor az első elemet kapjuk, ha n = 2-t, akkor a kifejezés megadja az első szám és a különbség összegét, és így tovább.

Sok feladat feltételeit úgy állítják össze, hogy egy ismert számpárhoz, amelyeknek a számai is adottak a sorozatban, vissza kell állítani a teljes számsort (meg kell keresni a különbséget és az első elemet). Most ezt a problémát általánosan fogjuk megoldani.

Tehát tegyük fel, hogy kapunk két elemet n és m számokkal. A fenti képlet segítségével két egyenletrendszert állíthatunk össze:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Az ismeretlen mennyiségek megtalálásához egy jól ismert egyszerű módszert alkalmazunk egy ilyen rendszer megoldására: a bal és jobb részt páronként kivonjuk, miközben az egyenlőség érvényben marad. Nekünk van:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Így kiszűrtünk egy ismeretlent (a 1). Most felírhatjuk a végső kifejezést d meghatározásához:

d = (a n - a m) / (n - m), ahol n > m

Nagyon egyszerű képletet kaptunk: ahhoz, hogy a d különbséget a feladat feltételeinek megfelelően számítsuk ki, csak maguknak az elemeknek és sorszámuk különbségeinek az arányát kell felvenni. Figyelmet kell fordítani egy fontos pontra: a különbségeket a "senior" és a "junior" tagok között kell figyelembe venni, azaz n\u003e m ("senior" - jelentése távolabb áll a sorozat elejétől, abszolút értéke lehet többé-kevésbé "fiatalabb" elem legyen).

A progresszió d különbségének kifejezését be kell cserélni bármelyik egyenletbe a feladat megoldásának elején, hogy megkapjuk az első tag értékét.

Számítástechnika-fejlődés korunkban sok iskolás az interneten próbál megoldást találni a feladataira, így gyakran felmerülnek az ilyen típusú kérdések: keresse meg az aritmetikai sorozat különbségét az interneten. Ilyen kérésre a kereső számos weboldalt jelenít meg, amelyekre fellépve meg kell adni a feltételből ismert adatokat (lehet a progresszió két tagja, vagy ezek egy részének összege ), és azonnal választ kap. Mindazonáltal a probléma megoldásának ilyen megközelítése nem produktív a tanuló fejlődése és a rábízott feladat lényegének megértése szempontjából.

Megoldás képletek használata nélkül

Oldjuk meg az első feladatot, miközben nem használjuk a fenti képleteket. Legyenek adottak a sorozat elemei: a6 = 3, a9 = 18. Határozzuk meg a számtani progresszió különbségét!

Az ismert elemek sorban egymáshoz közel helyezkednek el. Hányszor kell hozzáadni a d különbséget a legkisebbhez, hogy a legnagyobb legyen? Háromszor (első alkalommal d hozzáadásával a 7. elemet kapjuk, a második alkalommal a nyolcadik, végül a harmadik alkalommal a kilencedik elemet). Milyen számot kell háromszor hozzáadni a háromhoz, hogy 18 legyen? Ez az ötös szám. Igazán:

Így az ismeretlen különbség d = 5.

Természetesen a megoldást a megfelelő képlet segítségével is meg lehetett csinálni, de ez nem szándékosan történt. A probléma megoldásának részletes magyarázata világos és szemléletes példává kell, hogy váljon annak, hogy mi is az aritmetikai progresszió.

Az előzőhöz hasonló feladat

Most oldjunk meg egy hasonló problémát, de változtassuk meg a bemeneti adatokat. Tehát meg kell találnia, ha a3 = 2, a9 = 19.

Természetesen ismét folyamodhat a „homlokon” megoldási módszerhez. De mivel a sorozat elemei adottak, amelyek viszonylag távol vannak egymástól, egy ilyen módszer nem válik túl kényelmessé. De a kapott képlet használata gyorsan elvezet minket a válaszhoz:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Itt kerekítettük a végső számot. Hogy ez a kerekítés mennyi hibához vezetett, az az eredmény ellenőrzésével ítélhető meg:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ez az eredmény mindössze 0,1%-kal tér el a feltételben megadott értéktől. Ezért a használt századokra kerekítés jó választásnak tekinthető.

Feladatok egy tagra vonatkozó képlet alkalmazásához

Nézzünk egy klasszikus példát az ismeretlen d meghatározásának problémájára: keressük meg az aritmetikai haladás különbségét, ha a1 = 12, a5 = 40.

Ha egy ismeretlen algebrai sorozat két számot adunk meg, és az egyik az a 1 elem, akkor nem kell sokáig gondolkodni, hanem azonnal alkalmazni kell az a n tag képletét. Ebben az esetben a következőkkel rendelkezünk:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pontos számot kaptunk osztáskor, így nincs értelme a kiszámított eredmény pontosságát ellenőrizni, ahogy az előző bekezdésben is történt.

Oldjunk meg egy másik hasonló feladatot: meg kell találnunk az aritmetikai sorozat különbségét, ha a1 = 16, a8 = 37.

Az előzőhöz hasonló megközelítést alkalmazunk, és megkapjuk:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mit kell még tudni az aritmetikai progresszióról?

Az ismeretlen különbség vagy egyes elemek megtalálásának problémái mellett gyakran meg kell oldani a sorozat első tagjainak összegével kapcsolatos problémákat is. Ezeknek a problémáknak a mérlegelése túlmutat a cikk témáján, azonban az információk teljessége érdekében bemutatunk egy általános képletet a sorozat n számának összegére:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

A matematikának megvan a maga szépsége, akárcsak a festészetnek és a költészetnek.

Orosz tudós, szerelő N.E. Zsukovszkij

A matematika felvételi vizsgáin nagyon gyakori feladatok az aritmetikai sorozat fogalmához kapcsolódó feladatok. Az ilyen problémák sikeres megoldásához jól kell ismerni az aritmetikai progresszió tulajdonságait, és bizonyos ismeretekkel kell rendelkezniük az alkalmazásukban.

Először idézzük fel az aritmetikai sorozat főbb tulajdonságait, és mutassuk be a legfontosabb képleteket, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.

Meghatározás. Numerikus sorozat, amelyben minden következő tag azonos számmal tér el az előzőtől, aritmetikai sorozatnak nevezzük. Ugyanakkor a számprogressziós különbségnek nevezzük.

A számtani sorozatra a képletek érvényesek

, (1)

Ahol . Az (1) képletet egy aritmetikai sorozat közös tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a számtani sorozat fő tulajdonsága: a progresszió minden tagja egybeesik szomszédos tagjainak számtani átlagával és.

Vegyük észre, hogy a szóban forgó progressziót éppen ezen tulajdonság miatt nevezik „aritmetikának”.

A fenti (1) és (2) képleteket a következőképpen foglaljuk össze:

(3)

Az összeg kiszámításához első egy aritmetikai sorozat tagjaiáltalában a képletet használják

(5) hol és .

Ha figyelembe vesszük az (1), akkor az (5) képletből következik

Ha kijelöljük

Ahol . Mivel , akkor a (7) és (8) képlet a megfelelő (5) és (6) képlet általánosítása.

Különösen , az (5) képletből az következik, Mit

A legtöbb diák számára kevéssé ismert az aritmetikai sorozat tulajdonsága, amelyet a következő tétel segítségével fogalmazunk meg.

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Például , tétel segítségével, ez kimutatható

Térjünk át az „Aritmetikai progresszió” témakörben a problémák megoldásának tipikus példáira.

1. példa Hagyjuk és . Megtalálja .

Megoldás. A (6) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy . Mivel és , akkor vagy .

2. példa Hagyjuk még háromszor, és ha a hányadosban osztjuk, akkor 2, a maradék pedig 8 lesz. Határozzuk meg és.

Megoldás. Az egyenletrendszer a példa feltételéből következik

Mivel , , és , akkor a (10) egyenletrendszerből kapjuk

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása és .

3. példa Keresse meg, ha és .

Megoldás. Az (5) képlet szerint van vagy . A (9) tulajdonság használatával azonban megkapjuk a .

Mivel és , majd az egyenlőségből az egyenlet következik vagy .

4. példa Keresse meg, ha.

Megoldás.Az (5) képlet alapján megvan

A tétel segítségével azonban lehet írni

Innen és a (11) képletből kapjuk.

5. példa. Adott: . Megtalálja .

Megoldás. Azóta . Azonban ezért .

6. példa Hagyjuk , és . Megtalálja .

Megoldás. A (9) képlet segítségével megkapjuk. Ezért ha , akkor vagy .

Mivel és akkor itt van egy egyenletrendszerünk

Amelyik megoldásával kapjuk és .

Az egyenlet természetes gyöke van .

7. példa Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel a (3) képlet szerint megvan, hogy , akkor az egyenletrendszer a feladat feltételéből következik

Ha behelyettesítjük a kifejezésta rendszer második egyenletébe, akkor kapunk vagy .

A másodfokú egyenlet gyökerei a következőkÉs .

Vegyünk két esetet.

1. Hagyja, majd . Azóta és akkor .

Ebben az esetben a (6) képlet szerint megvan

2. Ha , akkor , és

Válasz: és.

8. példa Ismeretes, hogy és Megtalálja .

Megoldás. Az (5) képletet és a példa feltételét figyelembe véve írunk és -t.

Ez magában foglalja az egyenletrendszert

Ha a rendszer első egyenletét megszorozzuk 2-vel, majd hozzáadjuk a második egyenlethez, akkor azt kapjuk,

A (9) képlet szerint megvan. Ezzel kapcsolatban a (12)-ből az következik vagy .

Azóta és akkor .

Válasz: .

9. példa Keresse meg, ha és .

Megoldás. Mivel , és feltétel szerint , akkor vagy .

Az (5) képletből ismert, Mit . Azóta .

Ennélfogva , itt van egy lineáris egyenletrendszer

Innen kapunk és . A (8) képlet figyelembevételével írjuk.

10. példa Oldja meg az egyenletet.

Megoldás. Az adott egyenletből az következik, hogy . Tegyük fel, hogy , , és . Ebben az esetben .

Az (1) képlet szerint írhatunk vagy -t.

Mivel a (13) egyenletnek egyedi alkalmas gyöke van.

11. példa. Keresse meg a maximális értéket, feltéve, hogy és .

Megoldás. Mivel , akkor a figyelembe vett aritmetikai progresszió csökken. Ebben a tekintetben a kifejezés akkor vesz fel maximális értéket, ha ez a progresszió minimális pozitív tagjának száma.

Az (1) képletet és a tényt használjuk, amely és . Akkor azt kapjuk, hogy ill.

Mert akkor ill . Ebben az egyenlőtlenségben azonbanlegnagyobb természetes szám, Ezért .

Ha a, és értékeket behelyettesítjük a (6) képletbe, akkor azt kapjuk, hogy .

Válasz: .

12. példa. Határozzuk meg mindazon kétjegyű természetes számok összegét, amelyeknek 6-tal osztva a maradéka 5 lesz.

Megoldás. Jelölje az összes kétértékű természetes szám halmazával, azaz. . Ezután készítünk egy részhalmazt, amely a halmaz azon elemeiből (számaiból) áll, amelyek 6-tal osztva 5-ös maradékot adnak.

Könnyen telepíthető, Mit . Magától értetődően , hogy a halmaz elemeiszámtani sorozatot alkotnak, amelyben és .

A halmaz számosságának (elemszámának) meghatározásához feltételezzük, hogy . Mivel és , akkor az (1) képletből vagy . Az (5) képlet figyelembevételével megkapjuk.

A problémák megoldásának fenti példái semmiképpen sem mondhatók kimerítőnek. Ez a cikk egy adott témakör tipikus problémáinak megoldására szolgáló modern módszerek elemzése alapján készült. Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák megoldási módszereinek mélyebb tanulmányozása érdekében célszerű az ajánlott irodalomjegyzékre hivatkozni.

1. Feladatgyűjtemény matematikából műszaki egyetemekre jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. - M .: Világ és oktatás, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: az iskolai tananyag további részei. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Van kérdésed?

Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat fogunk megvizsgálni.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell adni a vizsgált progresszió definícióját, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a továbbiakban a problémák megoldásában használni fognak.

Az aritmetikai vagy algebrai progresszió olyan rendezett racionális számok halmaza, amelynek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Vegyünk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a figyelembe vett progressziótípusnak, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fontos képletek

Most megadjuk azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani sorozat segítségével történő megoldásához. Jelölje a n a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betű jelöli. Ekkor a következő kifejezések igazak:

1. Az n-edik tag értékének meghatározásához a következő képlet alkalmas: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n + a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy a 9. osztályban megoldott aritmetikai haladás példáit megértsük, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatára épülnek. Ne felejtsük el, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1 .

1. példa: Ismeretlen tag keresése

Adunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz használandó képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

Már a feladat feltételeiből is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, bármelyik másik két kifejezést felfoghatjuk egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d \u003d a n - a n-1, majd d = a 5 - a 4, ahonnan kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először azt kell meghatározni, ahogy fentebb látható (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ha n = 5-öt behelyettesítünk az utolsó kifejezésbe, a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezet. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a progresszió d különbsége negatív. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mert minden egymást követő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot, mutassunk példát, hogyan

Ismeretes, hogy egyes esetekben az 1. tag 6, a 7. tag pedig 18. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Behelyettesítjük a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így van: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) / 6 = 2. Így a feladat első része megválaszolásra került.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 és 7 = 18.

3. példa: előrelépés

Bonyolítsuk tovább a probléma helyzetét. Most meg kell válaszolnia azt a kérdést, hogy hogyan találhat számtani progressziót. A következő példát adhatjuk: két számot adunk meg, például 4 és 5. Algebrai haladást kell készíteni, hogy ezek közé még három tag illeszkedjen.

A probléma megoldásának megkezdése előtt meg kell érteni, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni haladásban. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor egy 1 \u003d -4 és egy 5 \u003d 5. Miután ezt megállapítottuk, folytatjuk az előzőhöz hasonló feladatot. Ismét az n-edik taghoz a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Innen: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Itt a különbség nem egész, hanem racionális szám, így az algebrai haladás képletei változatlanok maradnak.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d ami egybeesett a probléma feltételével.

4. példa: A progresszió első tagja

Továbbra is példákat adunk a megoldással ellátott aritmetikai sorozatra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Tekintsünk most egy másik típusú problémát: legyen két szám megadva, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számtól kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. Ezekről a számokról a probléma állapotában semmit nem tudni. Mindazonáltal írjuk ki a kifejezéseket minden olyan taghoz, amelyről információnk van: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Kaptunk két egyenletet, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A megadott rendszert a legkönnyebb megoldani, ha minden egyenletben 1-et adunk meg, majd összehasonlítjuk a kapott kifejezéseket. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőket kapjuk: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ahonnan a különbség d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja egy 1-hez. Például először: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ha kétségei vannak az eredménnyel kapcsolatban, akkor ellenőrizheti, például meghatározhatja a feltételben megadott progresszió 43. tagját. A következőt kapjuk: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Egy kis hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. példa: Összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldására.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően ez a probléma megoldható, vagyis az összes szám szekvenciális összeadása, amit a számítógép azonnal megtesz, amint megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége 1. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussinak” hívják, hiszen a 18. század elején a híres német, még csak 10 évesen, néhány másodperc alatt meg tudta oldani gondolataiban. A fiú nem ismerte az algebrai progresszió összegének képletét, de észrevette, hogy ha a sorozat szélein található számpárokat összeadja, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mennyi lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege.

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd sorban összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére javasolt a probléma megoldása a második módszerrel, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Írjunk ki két kifejezést az összegre mindkét esetben:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2 összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén kivonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit szeretne találni, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások nélkül is meg tudjuk válaszolni a kérdést, akkor ezt meg kell tenni, hiszen ebben az esetben kisebb a hibázás valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és bontsa fel az általános feladatot külön részfeladatokra (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségek merülnek fel a kapott eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Hogyan találhatunk számtani progressziót, kiderült. Ha egyszer rájössz, nem is olyan nehéz.

Az aritmetikai progressziós feladatok már az ókorban is léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Tehát az ókori Egyiptom egyik matematikai tartalmú papiruszában - a Rhindi papiruszban (Kr. e. XIX. század) - a következő feladat van: osszon el tíz mérték kenyeret tíz emberre, feltéve, hogy mindegyik között egy különbség van. mérték nyolcadrésze.

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Tehát Alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és a tizennegyedik könyvvel egészítette ki Eukleidész „Elemek” című könyvét) megfogalmazta a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege. nagyobb, mint az 1. tagok összege a négyzet 1/2 taggal.

Az an sorozatot jelöljük. A sorozat számait tagjainak nevezik, és általában betűkkel jelölik, amelyek az adott tag sorozatszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” és így tovább).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Ez úgy értendő, hogy az előző (n) tagot összeadjuk azonos d számmal, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai progressziót végesnek mondunk, ha csak néhány első tagját vesszük figyelembe. Nagyon nagy létszám mellett ez már végtelen előrelépés.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet adja meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Az állítás, ami ennek az ellenkezője, teljesen igaz: ha a sorozatot hasonló képlettel adjuk meg, akkor ez pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a következő tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Az ellenkezője: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző tag számtani közepe és a következő, azaz. ha a feltétel teljesül, akkor az adott sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség egyben a progresszió jele is, ezért szokás a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezni.
   Ugyanígy igaz az ezt a tulajdonságot tükröző tétel: egy sorozat csak akkor aritmetikai haladás, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k a haladás számai).

Egy aritmetikai progresszióban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlet alkalmazásával:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagon keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összegét (a végső progresszió 1. n tagját feltételezve) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok feltételeitől és a kiindulási adatoktól függ.

Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,... a számtani sorozat legegyszerűbb példája.

A számtani progresszió mellett létezik egy geometriai is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.