A mátrixszámítás eszközei. Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz mátrix módszerrel. A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével

Lineáris rendszerek megoldása algebrai egyenletek mátrix módszer (az inverz mátrix használatával).

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol a mátrix A dimenzióval rendelkezik n tovább n determinánsa pedig nem nulla.

Mivel , akkor a mátrix A invertálható, vagyis van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk balra, akkor egy képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Így megkaptuk a lineáris algebrai egyenletrendszer mátrix módszerrel történő megoldását.

mátrix módszer.

Átírjuk az egyenletrendszert mátrix alakban:

Mert akkor a SLAE megoldható a mátrix módszerrel. Az inverz mátrix segítségével ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen kereshető .

Inverz mátrixot készítünk mátrixelemek algebrai komplementereinek mátrixából A(ha szükséges, lásd a cikkben található módszereket az inverz mátrix megtalálásához):

Ki kell számítani - az ismeretlen változók mátrixát az inverz mátrix szorzásával a szabad tagok mátrixoszlopán (ha szükséges, lásd a mátrixokkal végzett műveletekről szóló cikket):

vagy egy másik bejegyzésben x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldásának fő problémája az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen a harmadiknál ​​magasabb rendű négyzetmátrixok esetében.

Az elmélet részletesebb leírását és további példákat lásd a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló cikkmátrix módszernél.

Lap teteje

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk a rendszerre n lineáris egyenletek -val n ismeretlen változók amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók egymást követő kizárásából áll: először is a x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, akkor x 2 az összes egyenletből, a harmadikkal kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változó marad az utolsó egyenletben x n. A rendszer egyenleteinek egy ilyen transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrelépésének befejezése után az utolsó egyenletből találjuk x n, az utolsó előtti egyenletből származó érték felhasználásával számítjuk ki x n-1, és így tovább, az első egyenletből megtaláljuk x 1 . Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. fordított Gauss-módszer.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsa el az ismeretlen változót x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adja hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adja hozzá az első egyenletet a harmadik egyenlethez, és így tovább, n-edik add hozzá az első egyenletet, szorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel hol egy .

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha kifejeznénk x 1 a rendszer első egyenletében szereplő egyéb ismeretlen változókon keresztül, és az így kapott kifejezést behelyettesítettük az összes többi egyenletbe. Tehát a változó x 1 minden egyenletből kizárva, a másodiktól kezdve.

Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez adja hozzá a másodikat szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, a másodikat szorozva adja hozzá a negyedik egyenlethez, és így tovább, n-edik add hozzá a második egyenletet, szorozva ezzel. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel hol egy . Tehát a változó x 2 minden egyenletből kizárva, a harmadiktól kezdve.

Ezután folytatjuk az ismeretlen felszámolását x 3 , míg az ábrán jelölt rendszerrésszel hasonlóan járunk el

Folytatjuk tehát a Gauss-módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve elkezdjük a Gauss-módszer fordított menetét: kiszámítjuk x n az utolsó as egyenletből a kapott érték felhasználásával x n megtalálja x n-1 az utolsó előtti egyenletből és így tovább, azt találjuk x 1 az első egyenletből.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszer.

Távolítsa el az ismeretlen változót x 1 a rendszer második és harmadik egyenletéből. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel:

Most kiküszöböljük a harmadik egyenletből x 2 , bal és jobb részéhez hozzáadva a második egyenlet bal és jobb oldali részét, megszorozva a következővel:

Ezen a Gauss-módszer előremenete befejeződött, elkezdjük a fordított pályát.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből azt találjuk x 3 :

A második egyenletből azt kapjuk, hogy .

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel teljessé válik a Gauss-módszer fordított menete.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Részletesebb információkért és további példákért lásd az elemi lineáris algebrai egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása című részt.

Lap teteje

Mátrix módszer SLAU megoldások olyan egyenletrendszerek megoldására szolgál, amelyekben az egyenletek száma megfelel az ismeretlenek számának. A módszer a legalkalmasabb alacsony rendű rendszerek megoldására. A lineáris egyenletrendszerek megoldásának mátrixmódszere a mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.

Így, más szóval inverz mátrix módszer,így nevezzük, mivel a megoldás a szokásos mátrixegyenletre redukálódik, aminek megoldásához meg kell találni az inverz mátrixot.

Mátrix megoldási módszer A nullánál nagyobb vagy kisebb determinánssal rendelkező SLAE a következő:

Tegyük fel, hogy létezik egy SLE (lineáris egyenletrendszer) azzal n ismeretlen (tetszőleges mező felett):

Így könnyen lefordítható mátrix formára:

AX=B, Ahol A a rendszer fő mátrixa, BÉs x- a rendszer szabad tagjainak és megoldásainak oszlopai:

Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet ezzel A -1- inverz mátrixról mátrixra A: A −1 (AX)=A −1 B.

Mert A −1 A=E, azt jelenti, X=A −1 B. Az egyenlet jobb oldala a kezdeti rendszer megoldásainak oszlopát adja meg. Alkalmazhatósági feltétel mátrix módszer a mátrix nem-degeneráltsága van A. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a mátrix meghatározója A:

detA≠0.

Mert homogén lineáris egyenletrendszer, azaz ha vektor B=0, az ellenkező szabály érvényesül: a rendszer AX=0 nem triviális (azaz nem egyenlő nullával) megoldás csak akkor, ha detA=0. Ezt a kapcsolatot a homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai között ún Fredholm alternatívája.

Így az SLAE mátrix módszerrel történő megoldása a képlet szerint történik . Vagy a SLAE megoldást a használatával találják meg inverz mátrix A -1.

Ismeretes, hogy egy négyzetmátrix A rendelés n tovább n van egy inverz mátrix A -1 csak akkor, ha a determinánsa nem nulla. Így a rendszer n lineáris algebrai egyenletek -val n az ismeretleneket csak akkor oldjuk meg a mátrix módszerrel, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

Annak ellenére, hogy egy ilyen módszer alkalmazásának korlátai vannak, és számítási nehézségek merülnek fel az együtthatók nagy értékeivel és a magas rendű rendszerekkel, a módszer könnyen megvalósítható számítógépen.

Példa egy inhomogén SLAE megoldására.

Először is ellenőrizzük, hogy az ismeretlen SLAE-k együtthatói mátrixának determinánsa nem egyenlő-e nullával.

Most megtaláljuk szövetségi mátrix, transzponálja és helyettesítse be az inverz mátrix meghatározására szolgáló képletbe.

Behelyettesítjük a változókat a képletben:

Most az inverz mátrix és a szabad tagok oszlopának megszorzásával találjuk meg az ismeretleneket.

Így, x=2; y=1; z=4.

Amikor az SLAE szokásos alakjáról a mátrix alakra váltunk, ügyeljünk az ismeretlen változók sorrendjére a rendszeregyenletekben. Például:

NE így írd:

Először is meg kell rendezni az ismeretlen változókat a rendszer minden egyenletében, és csak ezután kell továbblépni a mátrix jelölésére:

Ezenkívül óvatosnak kell lennie az ismeretlen változók kijelölésével, ahelyett x 1, x 2, …, x n lehetnek más betűk is. Például:

mátrix formában ezt írjuk:

A mátrix módszerrel célszerű olyan lineáris egyenletrendszereket megoldani, amelyekben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlen változók számával, és a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával. Ha több mint 3 egyenlet van a rendszerben, akkor az inverz mátrix megtalálása több számítási erőfeszítést igényel, ezért ebben az esetben célszerű a Gauss-módszert használni a megoldáshoz.

(ezt a módszert néha mátrix módszernek vagy inverz mátrix módszernek is nevezik) előzetes megismerkedést igényel egy olyan fogalommal, mint az SLAE írás mátrix formája. Az inverz mátrix módszer azon lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgál, amelyeknél a rendszermátrix determinánsa nem nulla. Ez természetesen azt jelenti, hogy a rendszer mátrixa négyzet (a determináns fogalma csak négyzetes mátrixoknál létezik). Az inverz mátrix módszer lényege három pontban fejezhető ki:

1. Írjon fel három mátrixot: $A$ rendszermátrixot, $X$ ismeretlenek mátrixát, $B$ szabad tagok mátrixát.
2. Keresse meg a $A^(-1)$ inverz mátrixot.
3. Az $X=A^(-1)\cdot B$ egyenlőség segítségével kapjuk meg az adott SLAE megoldását.

Bármely SLAE felírható mátrix formában: $A\cdot X=B$, ahol $A$ a rendszer mátrixa, $B$ a szabad kifejezések mátrixa, $X$ az ismeretlenek mátrixa. Legyen az $A^(-1)$ mátrix. Szorozzuk meg a $A\cdot X=B$ egyenlőség mindkét oldalát a bal oldali $A^(-1)$ mátrixszal:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Mivel $A^(-1)\cdot A=E$ (a $E$ az azonosságmátrix), akkor a fent írt egyenlőség a következő lesz:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Mivel $E\cdot X=X$, akkor:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

1. példa

Oldja meg a SLAE-t $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ az inverz mátrix segítségével.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Keressük meg a rendszer mátrixának inverz mátrixát, azaz! kiszámítja $A^(-1)$. A 2. példában

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Helyettesítsük be mindhárom mátrixot ($X$, $A^(-1)$, $B$) a $X=A^(-1)\cdot B$ egyenletbe. Ezután mátrixszorzást végzünk

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(tömb)\jobbra)\cdot \left(\begin(tömb) (c) 29\\ -11 \end(tömb)\jobbra)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(tömb)\jobbra). $$

Így a következőt kaptuk: $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ jobbra)$. Ebből az egyenlőségből a következőt kapjuk: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Válasz: $x_1=-3$, $x_2=2$.

2. példa

SLAE megoldása $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ az inverz mátrix módszerrel.

Írjuk fel a $A$ rendszer mátrixát, a $B$ szabad tagok mátrixát és az $X$ ismeretlenek mátrixát.

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(tömb)\jobb);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Most itt az ideje, hogy megtaláljuk a rendszermátrix inverz mátrixát, azaz. keresse meg $A^(-1)$. A 3. példában az inverz mátrixok keresésének szentelt oldalon az inverz mátrixot már megtaláltuk. Használjuk a kész eredményt és írjuk be: $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 és 37\end(tömb)\jobbra). $$

Most mind a három mátrixot ($X$, $A^(-1)$, $B$) behelyettesítjük a $X=A^(-1)\cdot B$ egyenlőségbe, majd a jobb oldalon mátrixszorzást hajtunk végre. ennek az egyenlőségnek az oldalán.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Így kaptuk a $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(tömb)\jobbra)$. Ebből az egyenlőségből a következőt kapjuk: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Ez az online számológép egy lineáris egyenletrendszert old meg a mátrix módszerrel. Nagyon részletes megoldást adunk. Lineáris egyenletrendszer megoldásához válassza ki a változók számát. Válasszon módszert az inverz mátrix kiszámításához. Ezután írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.

×

Figyelem

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számokat egész számokként (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számokként (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtként kell megadni. A törtet a/b formátumban kell beírni, ahol a és b egész vagy tizedes számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Mátrix módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására

Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert:

Figyelembe véve az inverz mátrix definícióját, megvan A −1 A=E, Ahol E az identitásmátrix. Ezért a (4) a következőképpen írható fel:

Így az (1) (vagy (2)) lineáris egyenletrendszer megoldásához elegendő az inverzt megszorozni A mátrix kényszervektoronként b.

Példák lineáris egyenletrendszer mátrix módszerrel történő megoldására

1. példa Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszert a mátrix módszerrel:

Határozzuk meg az A mátrix inverzét a Jordan-Gauss módszerrel. VAL VEL jobb oldal mátrixok Aírja be az identitásmátrixot:

A főátló alatti mátrix 1. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 2,3 sorokat az 1. sorral, szorozva -1/3-mal, -1/3-mal:

A főátló alatti mátrix 2. oszlopának elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá a 3. sort a 2. sor szorzatához -24/51-gyel:

A mátrix 2. oszlopának főátló feletti elemeit zárjuk ki. Ehhez adja hozzá az 1. sort a 2. sorhoz, megszorozva -3/17-tel:

Válasszuk el a mátrix jobb oldalát. A kapott mátrix az inverze A :

Lineáris egyenletrendszer felírásának mátrix formája: ax=b, Ahol

Számítsa ki a mátrix összes algebrai komplementerét! A:

,

,

,

,

,

Ahol A ij − a mátrixelem algebrai komplementere A kereszteződésben található én-edik sor és j-edik oszlop, és Δ a mátrix determinánsa A.

Az inverz mátrix képlet segítségével a következőket kapjuk:

Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert ismeretlen:

Feltételezzük, hogy a fő mátrix nem degenerált. Ekkor a 3.1. Tétel szerint létezik egy inverz mátrix
A mátrix egyenlet szorzása
mátrixhoz
a bal oldalon a 3.2 definíció, valamint az 1.1 Tétel 8) állítása segítségével megkapjuk a képletet, amelyen a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrix módszer alapul:

Megjegyzés. Megjegyzendő, hogy a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrix módszer a Gauss-módszerrel ellentétben korlátozottan alkalmazható: ezzel a módszerrel csak olyan lineáris egyenletrendszereket lehet megoldani, amelyeknél először is az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, ill. másodszor, a fő mátrix nem szinguláris.

Példa. Oldja meg a lineáris egyenletrendszert mátrix módszerrel!

Adott egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel
Ahol

Az egyenletrendszer fő mátrixa nem degenerált, mivel a determinánsa nem nulla:

inverz mátrix
a (3) bekezdésben leírt módszerek egyikével állítsa össze.

A lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszer képlete szerint azt kapjuk

5.3. Cramer módszer

Ez a módszer a mátrix módszerhez hasonlóan csak olyan lineáris egyenletrendszerekre alkalmazható, amelyekben az ismeretlenek száma egybeesik az egyenletek számával. Cramer módszere az azonos nevű tételen alapul:

5.2. Tétel. Rendszer lineáris egyenletek -val ismeretlen

amelynek főmátrixa nem szinguláris, egyedi megoldása van, amely a képletekből nyerhető

Ahol
a főmátrixból származtatott mátrix determinánsa egyenletrendszer cseréjével
oszlopot a szabad tagok oszlopával.

Példa. Keressünk megoldást az előző példában vizsgált lineáris egyenletrendszerre a Cramer módszerrel. Az egyenletrendszer fő mátrixa nem degenerált, hiszen
Számítsa ki a determinánsokat!

Az 5.2. Tételben bemutatott képletekkel kiszámítjuk az ismeretlenek értékeit:

6. Lineáris egyenletrendszerek tanulmányozása.

Alapvető megoldás

Lineáris egyenletrendszer vizsgálata azt jelenti, hogy meghatározzuk, hogy ez a rendszer kompatibilis-e vagy inkonzisztens, és kompatibilitása esetén annak megállapítása, hogy ez a rendszer határozott vagy határozatlan.

A lineáris egyenletrendszer kompatibilitási feltételét a következő tétel adja meg

6.1. Tétel (Kronecker–Capelli).

Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával:

Egy konzisztens lineáris egyenletrendszer esetében annak bizonyosságának vagy bizonytalanságának kérdését a következő tételek segítségével oldjuk meg.

6.2. Tétel. Ha egy közös rendszer főmátrixának rangja egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a rendszer határozott

6.3. Tétel. Ha egy közös rendszer főmátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor a rendszer határozatlan.

Így a megfogalmazott tételek egy módszert tartalmaznak lineáris algebrai egyenletrendszerek tanulmányozására. Hadd n az ismeretlenek száma,

Akkor:

Meghatározás 6.1. Egy határozatlan lineáris egyenletrendszer alapmegoldása egy olyan megoldás, amelyben minden szabad ismeretlen egyenlő nullával.

Példa. Fedezz fel egy lineáris egyenletrendszert. Ha a rendszer bizonytalan, keresse meg az alapvető megoldását.

Számítsa ki a fő rangját és kiterjesztett mátrix ennek az egyenletrendszernek, amelyhez a rendszer kiterjesztett (és egyben fő) mátrixát lépcsőzetes formába hozzuk:

Összeadjuk a mátrix második sorát az első sorával, szorozva ezzel harmadik sor - az első sor szorozva
és a negyedik sor - az elsővel, szorozva megkapjuk a mátrixot

A mátrix harmadik sorához adja hozzá a második sort, szorozva ezzel
és a negyedik sorhoz - az első, megszorozva
Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixot

amelyekből a harmadik és negyedik sor törlésével lépésmátrixot kapunk

És így,

Ennélfogva, ezt a rendszert lineáris egyenletek konzisztensek, és mivel a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma, a rendszer határozatlan Az elemi transzformációk eredményeként kapott lépésmátrix megfelel az egyenletrendszernek

Ismeretlen És ezek a főbbek és az ismeretlenek És
ingyenes. A szabad ismeretlenekhez nulla értékeket rendelve megkapjuk ennek a lineáris egyenletrendszernek az alapmegoldását.