Pozíciós és nem pozíciós számrendszerek. Számrendszerek. Példa nem pozíciós számrendszerekre 6 pozíciós és nem pozíciós számrendszer

1. Pozíciós és nem pozíciós számrendszerek

Nem pozicionális rendszer jelei: - olyan rendszerről van szó, amelyben egy szám jelölésében szereplő jel pozíciója nem függ a helyzetétől.

Példák nem pozíciós számrendszerekre: Róm.

Még a kőkorszaki embereknek is meg kellett számolniuk a mamutokat vagy törzstársaikat. A számolás természetes módja a legegyszerűbb modell volt - minden mamutot kavics vagy pálca jelöl, a számláláshoz bevágásokat készítettek, csomókat kötöttek.

A római számrendszerben a következő számokat találták ki: I - 1-nek felel meg, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. De a rendszer nem pozicionális és a szám növekedésével új számokat kell kitalálni. Ezért a római számokkal való munka nagyon kényelmetlen. (lásd az előadást)

A nem pozíciós számrendszerek többé-kevésbé alkalmasak voltak összeadásra és kivonásra, de egyáltalán nem alkalmasak szorzásra és osztásra. (Ruszon egészen a 18. századig a szláv számok nem pozíciórendszerét használták.)

Helyzetrendszer jelei: - ez egy olyan rendszer, amelyben egy szám jelölésében elfoglalt jel helyzete a helyzetétől függ.

A számrendszerek helyzeti felépítésének gondolatai többször is felmerültek különböző népeknél. Ezeknek a gondolatoknak a visszhangja megtalálható a beszélt nyelvben. Csak emlékezzen ezekre a kifejezésekre. „Negyven negyvenes”, „ördög tucatja”, „emberek sötétsége” (az ókori Ruszban a „sötétség” szó a jelenlegi „millió” számot jelentette). De ma ennek a fogalomnak az írásos értelmezésére fogunk összpontosítani.

A helyzetrendszer ötlete először az ókori Babilonban merült fel: a számrendszer alapja 60 volt - ennek maradványait az idő és a foktöredékek számítása máig őrzi. A babilóniaiak közel álltak a nulla felfedezéséhez, de sajnos ezt az utolsó lépést soha nem tették meg. A legelterjedtebb a decimális számrendszer volt, amely Indiából érkezett i.sz. 595-ben. (lásd az előadást)

A helyzetszámrendszerben az egyes számjegyek jelentése a szám beírásakor elfoglalt helyétől (pozíciójától) függ. A számjegy helye (pozíciója) egy szám jelölésében határozza meg... Kérdés: „Mi határozza meg?” Válasz: kisütés; ha egy számból hiányzik egy számjegy, akkor a helyére 0-t írunk Tudjuk, hogy bármely számjegyből 10 egység a legmagasabb számjegyből egy új egységet alkot. A 10-es számot alap decimális számrendszernek nevezzük. Segítségével meghatározzák az egyes számjegyek egységének „súlyát”.

Számos helyzetrendszer létezik: bináris, pentális, oktális, hexadecimális stb., és nevüket attól függően kapják, hogy egy adott rendszerben hány számjegyet alkotnak egy szám.

A különböző alapú számrendszerek fogalmának kialakulása:

Kérdés: Hány számjegyet használ a 12 jegyű számrendszer?

Válasz: Tizenkettő.

Kérdés: Hány számjegyből áll az oktális számrendszer?

Válasz: Nyolc.

Számok rögzítésének formája különféle számrendszerekben. (lásd az előadást)

Áttekintettük Önnel a számok írási formáit, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy előállítsuk:

2. A számok tizedes számrendszerből eltérő bázisú számrendszerré konvertálása úgy történik, hogy a teljes decimális számot elosztjuk az új számrendszer alapjával. Emlékeztetni kell arra, hogy a számjegyek száma egyetlen számrendszerben sem haladhatja meg a rendszer alapját.

Példák: Alakítsuk át a 29-et 3-as számrendszerré (tanári bemutató), a 13-at pedig 2-es számrendszerré (együttesen). (lásd az előadást)

3. Egész számok konvertálása tetszőleges bázisú számrendszerből decimális számrendszerré meglehetősen egyszerű. Ehhez fel kell írni a számot kiterjesztett formában, és ki kell számítani az értékét. (lásd az előadást)

1002 3 = 1*3 3 + 0*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 = 27 + 0+ 0+ 2 = 29 10 (tanári bemutató)

1101 2 = 1 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10 (együttesen)

1011 2 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10 (együttesen)

120 3 = 1 * 3 2 + 2 * 3 1 + 0 * 3 0 = 9 + 6 + 0 = 15 10 (együttesen)

Tanár: Srácok! Ön és én nagyszerű munkát végeztünk: kiderítettük, milyen számrendszerek léteznek, elemeztük a számok egyik rendszerből a másikba való konvertálásának szabályait. És most szeretném felolvasni nektek a vers sorait:

Ezt a rendszert decimálisnak szoktuk hívni.

Voltak pálcikák és abakusz, számológép, Pythagoras,

És most egy ezüst monitor áll a szemem előtt.

Nos, hogy mit gondol, az rajtunk múlik, hogy megoldjuk.

Tizedesjegyben számolunk - kettő, tizenkettő, százegy,

De a számítógép csak binárisan létezik – akár nulla, akár egy.”

Tanár: Srácok, okkal olvastam fel nektek ezeket a sorokat! És miért? Mit gondolsz? Tanulói válasz.

A lényeg: Azt akartam, hogy figyeljen arra, hogy a számítógép minden információt bináris kóddá alakít át. A különböző számrendszerek tanulmányozása lehetőséget ad arra, hogy ugyanazt a nyelvet beszéljük a számítógéppel, és megértsük az általa titkosított összes információt!

Kreatív feladatok elvégzése az anyag megerősítésére: (lásd előadás)

És most azt javaslom, hogy az anyag megszilárdítása érdekében önállóan végezze el a feladatokat.

1. Nézzük meg egy virág születését: először egy levél jelent meg, majd a második... és ekkor kivirágzott a bimbó. Fokozatosan növekszik, a virág egy bizonyos bináris számot mutat nekünk. Ha végigköveti egy virág növekedését, akkor megtudja, hány nap alatt nőtt ki.

Válasz: 1001001 2 vagy 145 10

Az önálló munka értékelésének kritériumai:

Kész:

· minden feladat helyes: „5” - kiváló;

· 4 feladat helyesen: „4” - jó;

· 3 feladat helyesen: „3” – kielégítő;

· 3-nál kevesebb feladat helyesen: „Nem figyeltél az órán!”

Erős tanulók számára fokozott nehézségű feladat.

2. A betűkódoló táblázat és a 2®10 számok fordítási szabályai segítségével fejtse meg az adott szót:

111 2 110 2 1011 2 1010 2 100 2 1000 2 111 2 1100 2 1101 2

"Az ókori Egyiptomban a számokat ezekkel a szimbólumokkal írták."

Válasz: hieroglifák.

IV. Monitoring

(A tanulók szóbeli felmérése, válaszként kártyákat használnak: zöld - „IGEN”, piros - „NEM”.

1 kérdés: igaz, hogy az ókorban a kezet használták számolási eszközként? (Igen)

2. kérdés: igaz, hogy a számítógépek a római számrendszert használják? (Nem)

3. kérdés: igaz, hogy az ókori Babilonban a számokat hieroglifákkal ábrázolták? (Nem)

4. kérdés: Igaz, hogy a 1001101 szám beírható kettes számrendszerbe? (Igen)

5. kérdés: Igaz, hogy a decimális helyzetszámrendszert az ókori Indiában találták fel? (Igen)

6. kérdés: igaz-e, hogy egy helyzetszámrendszerben egy számjegy helye nem függ a számban elfoglalt helyétől (helyétől)? (Nem)

7. kérdés: igaz, hogy az ókori Egyiptomban használták az ékírást? (Nem)

8. kérdés: igaz-e, hogy a mindennapi életben nem használjuk a hexadecimális számrendszert? (Igen)

9. kérdés: Igaz-e, hogy a 34263-as szám felírható a quináris számrendszerben? (Nem)

10. kérdés: igaz-e, hogy a római számrendszer nem pozicionális volt? (Igen)

11. kérdés: igaz-e, hogy a 443423-as szám felírható a quináris számrendszerben? (Igen)

12. kérdés: igaz-e, hogy a rendszer neve az alapjától függ? (Igen)

Következtetés

A modern információs technológiák számítástechnikai órákon való használatának gyakorlata megerősítette a választott oktatási anyag bemutatási módszerének relevanciáját és hatékonyságát, ami lehetővé tette a következő következtetések levonását: a modern oktatási segédeszközök - prezentáció és interaktív tábla segítik a tanárt az oktatási anyagok bemutatásában. , fejleszti a megfigyelőkészséget, biztosítja a tanulók erős ismeretszerzését, és növeli a tantárgy iránti érdeklődést. A modern oktatási segédeszközök lehetővé tették az új anyagok bemutatásához szükséges idő csökkentését, a megszerzett készségek megszilárdításának folyamatának felgyorsítását, az elvégzett munka céljának és előrehaladásának helyes megértését, valamint a feladatok elvégzéséhez szükséges idő csökkentését.

A témával kapcsolatos bevezető óra levezetésének megfontolt módszertana más tantárgyi területeken is alkalmazható. Szükségesnek tartom, hogy egy óra kidolgozását felajánljam kollégáimnak.

Pszichológiai, pedagógiai és módszertani oktatási és szakirodalom a kutatás témájában. 2) Megvizsgáltuk az iskolások logikai feladatok megoldására való tanításának jellemzőit az informatika órákon. 3) Jellemezte az IKT használatának jellemzőit a számítástechnika órákon. 4) Módszereket dolgoztunk ki az informatika számítástechnikai órákon való felhasználására, hogy megtanítsuk az iskolásokat a logikai...

Amikor számítógéppel kommunikál. 8. Korlátlan tanulás: A tartalom, annak értelmezései és alkalmazásai olyan nagyszerűek, ahogy tetszik. 2. fejezet „A tanulók kognitív tevékenységének aktiválása informatika órákon elektronikus tankönyv segítségével” szerzői pedagógiai technológiája 2.1 A téma pszichológiai és pedagógiai tartalmának elemzése képességei szempontjából Az alapvető rendelkezések áttanulmányozása után...

Jelölés egy szám írásának módszere speciális karakterek (számjegyek) meghatározott készletével.

Jelölés:

számok (egész és/vagy valós számok) halmazának ábrázolását adja;

minden számnak egyedi reprezentációt ad (vagy legalább szabványos ábrázolást);

egy szám algebrai és aritmetikai szerkezetét jeleníti meg.

Egy szám írása valamilyen számrendszerben ún számkód.

A számkijelző külön pozícióját hívja meg kisülés, ami azt jelenti, hogy a pozíció száma rangszám.

A számjegyek számát hívják meg bit mélységés egybeesik a hosszával.

A számrendszerek fel vannak osztva helyzetiÉs nem pozíciós. A helyzetszámrendszerek fel vannak osztva

tovább homogénÉs vegyes.

nyolcas számrendszer, hexadecimális számrendszer és egyéb számrendszerek.

Számrendszerek fordítása. A számok egyik számrendszerből a másikba konvertálhatók.

Számok megfelelőségi táblázata különböző számrendszerekben.

A számrendszereket általában két osztályra osztják: nem pozicionális és pozíciós.

BAN BEN nem pozíciós SS a számjegy pozíciója (pozíciója) a rekordban nem határozza meg az általa jelölt értéket. Az ilyen számrendszer tipikus példája a római SS.

Például a római SS-ben a CCXXXII szám kétszáz, három tízes és két egységből áll, és egyenlő kétszázharminckettővel.

A római számoknál a számokat balról jobbra írjuk, csökkenő sorrendben. Ebben az esetben értékeik összeadódnak. Ha egy kisebb szám van írva a bal oldalon, és egy nagyobb a jobb oldalon, akkor ezek értékét kivonjuk.

Például:

VI = 5 + 1 = 6 és IV = 5 - 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Ilyen számrendszereket ritkán használnak, mert számításokra nem alkalmas.

A gyakorlatban a helyzetszámrendszereket használják legszélesebb körben.

Helyzetszámrendszer- olyan számrendszer, amelyben egy szám képében szereplő egyes számjegyek értékét a helyük határozza meg ( pozíció) többek között. Minden helyzetszámrendszernek van alapja. Bármely szám alapszámjegyek sorozataként van írva. Az alap számjegyeinek száma megegyezik magával a bázissal. Az alap megmutatja, hogy az egyes számjegyek súlya hányszor kisebb, mint a legmagasabb szomszédos számjegy súlya.

Néhány helyzeti számrendszer

3.1. táblázat

Bázis	Jelölés	Jelek
	Bináris	0,1
	Szentháromság	0,1,2
	negyedidőszak	0,1,2,3
	Ötszörös	0,1,2,3,4
	Octal	0,1,2,3,4,5,6,7
	Decimális	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
	Dudecimális	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
	Hexadecimális	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,D,E,F

Az általunk használt számokat decimálisnak nevezzük, és az általunk használt aritmetikát decimálisnak is nevezzük. Azért hívják őket, mert minden szám összeállítható egy 10 karaktert (számjegyet) tartalmazó számkészletből -0123456789.

Vegyük például a 246-os számot. A jelölése azt jelenti, hogy a szám két százat, négy tízest és hat egyest tartalmaz. Ezért felírhatjuk a következő egyenlőséget:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Itt az egyenlőségjelek ugyanazon szám írásának három módját választják el. Számunkra a harmadik jelölési forma a legérdekesebb: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . A következőképpen épül fel:

A számunk három számjegyből áll. A „2” vezető számjegy a 3. Tehát megszorozzuk 10-zel a második hatványra. A következő „4” számjegy sorozatszáma 2, és az első hatványhoz megszorozzuk 10-zel. Az már világos, hogy a számjegyeket tízzel szorozzuk eggyel kisebb hatványig, mint a számjegy sorozatszáma.

Ebben az esetben a következő algoritmust használjuk:

1) az egyes pozíciók számjegyét megszorozzuk az alappal a pozíciószámnál 1-gyel kisebb hatványra;

2) az így kapott értékeket összeadjuk.

Például:

123 10 = 1 * 10 2 + 2 * 10 1 + 3 * 10 0 ;

1023.28 10 = 1 * 10 3 + 0 * 10 2 + 2 * 10 1 + 3 * 10 0 + 2 * 10 -1 + 8 * 10 -2

Más számrendszerekben egy ilyen fordítás így néz ki:

123 8 = 1 x 8 2 + 2 x 8 1 + 3 x 8 0 = 83 10;

101 2 = 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 5 10;

1E3 16 = 1 x 16 2 + 14 x 16 1 + 3 x 16 0 = 483 10.

Itt a számindex a számrendszer alapját jelzi. Nevezzük a számrendszer alapjának azt a számot, amely megegyezik a szám egyes pozícióiban megengedett különböző szimbólumok halmazának (vagyis a halmaz elemeinek számával) sokféleségével.

A decimális számrendszer homogén. Ez azt jelenti, hogy ugyanazok a szimbólumok elegendőek bármilyen szám ábrázolásához. De a mindennapi életben heterogén számrendszereket és különböző alapokkal rendelkező számrendszereket egyaránt használunk. Példa erre a nem metrikus mértékegységrendszerek (1 pud = 40 font), az időszámláló rendszer (1 perc = 60 másodperc).

A jövőben homogén helyzetszámrendszerekkel fogunk foglalkozni.

Jelöljük azzal p alapszám. Ekkor a számpozíciók súlya a következőképpen ábrázolható:

Tehát bármilyen szám x bázisú helyzetszámrendszerben p a következőkben ábrázolható bővített felvételi űrlap :

p - a számrendszer alapja;

m - a szám egész számának ábrázolására kijelölt pozíciók vagy számjegyek száma;

s - a szám tört részének ábrázolására kijelölt számjegyek száma;

n = m + s - a szám számjegyeinek teljes száma,

a i - bármely érvényes karakter a bitben (azaz a (0,1, p-1) halmazhoz kell tartoznia).

Vegye figyelembe, hogy a számrendszer alapjával megegyező számot magában a számrendszerben a következőképpen írjuk:

Az informatikában nem a decimális a legelterjedtebb, hanem a 2-es bázis többszörösével - bináris, oktális, hexadecimális - számrendszerek.

A kettes számrendszerben az egyetlen érvényes karakter a 0 és az 1, maga a szám pedig nullák és egyesek sorozataként ábrázolható.

Például:

11010010 2 = 1 * 2 7 + 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 162 10

Az oktális számrendszerben az érvényes karakterek 0,1,...7.

Például:

242 8 = 2 * 8 2 + 4 * 8 1 + 2 * 8 0 = 162 10

Hexadecimális rendszerben az érvényes karakterek 0, 1, 9, A, B, C, D, E, F.

Például:

A2 16 = 10 * 16 1 + 2 * 16 0 = 162 10

Számrendszer a számok digitális jelekkel történő ábrázolására vonatkozó technikák és szabályok összessége.

Nem pozíciós egy olyan számrendszer, amelyben egyetlen számjegy értéke nem függ a számot képviselő számsorozatban elfoglalt helytől (pozíciótól).

Például, a római számrendszerben írt XXX számban minden számjegy 10 egységet jelent.

1. feladat.Írd római számozással a számokat: a) 193; b) 564; c) 2708.

Megoldás: a) 193 - száz (C) + kilencven, azaz. száz tíz nélkül (XC) + három (III). Ezért a 193-at így írják évi CXCIII.

b) 564 ötszáz (D) + ötven (L) + tíz (X) + négy (IV), azaz. az 564-es szám DLХIV lesz.

c) 2708: kétezer (MM) + plusz ötszáz (D) + száz (C) + száz (C) + öt (V) + három (III). Ezért a 2708-as számot a következőképpen írjuk: MMDCCVIII.

Helyzeti egy olyan számrendszer, amelyben bármely számjegy értéke attól függ, hogy milyen pozícióban van-e a számot reprezentáló számjegyek sorozatában.

Például a 3-as szám a 723-as számban, decimális számrendszerben írva, három egységet jelent, a 325-ös számban pedig három százat. A pozicionális SS-ek közé tartozik a hatszázalékos babiloni és a decimális számrendszer.

Alatt számrendszer alapja a szomszédos számjegyek egységeinek egy bizonyos állandó arányára utal egy adott számrendszerben.

A számrendszer alapja bármely 1-nél nagyobb természetes szám lehet.

Olyan számrendszert hívunk, amelynek alapja 1 egységes.

A számok helyszámrendszerben történő rögzítéséhez olyan számjegyeket használnak, amelyek száma megfelel a rendszer alapjának.

Tizedes számrendszer, számok írása benne

A gyakorlatban a decimális számrendszert alakították ki. Mint tudják, decimális SS-ben 10 karaktert (számjegyet) használnak a számok írásához: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Belőlük véges sorozatok keletkeznek, amelyek számok rövid rekordjai. Például a 3745 sorozat a szám rövid formája.

Definíció 4. Egy x természetes szám decimális jelölése reprezentációja a következő:

ahol az a n, a n-1, ..., a 1, a 0 együtthatók 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és

Szokásos egy összeget rövid formában számsorként írni, tetején egy sávval, hogy megkülönböztessük a számok szorzatától:

Mivel a szám fogalma és jelölése nem azonos, a természetes jelölés decimális jelölésének létezését és egyediségét igazolni kell.

1. tétel. Bármilyen természetes szám x a következőképpen ábrázolható:

ahol az a n, a n-1, …, a 1, a 0 együtthatók 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 értékeket vesznek fel

és ilyen rekord az egyetlen.

Egy szám decimális jelölése megkönnyíti annak eldöntését, hogy melyik a kisebb.

2. tétel. Hadd x És nál nél – természetes számok, decimális számrendszerben írva:

Aztán a szám x kevesebb szám nál nél , ha az egyik feltétel teljesül:

A) n ;

b) n = m, de egy n ;

V) n = m, a n = b n, …, a k = b k, De a k-1 .

Példa: 1) ha x= 345 , A nál nél= 4678 , Azt x , mivel az első szám háromjegyű, a második pedig négyjegyű.

2) ha x= 345, a nál nél= 467, akkor x , mivel a háromjegyű számok két értéke közül az elsőnek kevesebb száza van.

3) Ha x= 3456, a nál nél= 3467, akkor x , mivel annak ellenére, hogy a négyjegyű számok mindegyikében az ezres és a százas szám azonos, a számban tízesek vannak x kevesebb, mint szám szerint nál nél.

Rang

Ha természetes szám x formában kell megadni, majd az 1, 10, 10 2, …, 10 számokat n hívott bitegységek rendre első, második, ..., n+1 rangú, 10 egységgel egy rangú egységet alkot a következő legmagasabb rangú egységgel, i.e. a szomszédos számjegyek aránya 10 – a számrendszer alapja.

A számok jelölésének első három számjegye egy csoportot köt össze, és hívják első osztály, vagy egységek osztálya. Az első osztályba egyesek, tízesek és százasok tartoznak.

A számforma negyedik, ötödik és hatodik számjegye másodosztály – ezer osztály. Ezután következik harmadik osztály – milliós osztály, amely szintén három kategóriából áll: hetedik, nyolcadik és kilencedik, i.e. milliós, tízmilliós és százmilliós egységekből.

A következő három számjegy is új osztályt alkot stb. egységosztályok azonosítása, ezrek, milliók stb. kényelmesebbé teszi a számok írását és olvasását.

A decimális SS-ben minden szám kaphat nevet (name). ezt a következőképpen érjük el: ott van az első 10 szám neve, majd azokból a decimális jelölés definíciójának megfelelően és néhány további szó hozzáadásával a következő számok nevei alakulnak ki. Tehát a második tíz alakban ábrázolt számai az első tíz név és egy kissé módosított tíz szó ("húsz") kombinációjából keletkeznek:

tizenegy- tízből egy;

tizenkét- kettő a tíz stb.

Talán természetesebb lenne azt mondani, hogy „kettő és tíz”, de őseink inkább azt mondták, hogy „kettőszer tíz”, ami megmaradt a beszédben.

A „húsz” szó két tízest jelent. A számolást folytatva megkapjuk a harmadik, negyedik, ötödik, hatodik stb. számok nevét. több tucat. Csak három esetben jelennek meg új szavak: negyven, kilencven és száz. Tíz tízest hívnak Száz. A második száz számának neve a „száz” szóból, valamint az első és az azt követő tízes számok neveiből tevődik össze. Ha megszámoljuk az új százat, akkor kétszázunk lesz, amit a rövidség kedvéért „kétszáznak” nevezünk, majd különleges neveket kapunk: háromszáz, négyszáz, ötszáz, stb. amíg nem számolunk 10 százat, amiket ún ezer . Ezrek megszámlálása után egy hívott számot kapunk millió (10 6). Ezután milliókban számolunk, amíg el nem érjük az ezer milliót, ezt a számot úgy hívják: milliárd, ezermillió (10 9). Millió milliónak hívják milliárd, ezermillió (10 12). Ekkor kapunk egy billiót (10 15), majd egy kvadrilliót (10 18) stb.

Így a milliárdon belüli összes természetes szám megnevezéséhez mindössze 16 különböző szóra volt szükség: egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilenc, tíz, negyven, kilencven, száz, ezer, millió, milliárd, ezermillió. A fennmaradó számnevek (egymilliárdon belül) az alapnevekből alakulnak ki.

A régebben létező és ma használatos különféle számrendszerek nem-pozíciós és pozíciós számrendszerekre oszthatók. A számok írásához használt jeleket számjegyeknek nevezzük.

BAN BEN nem pozíciós A számrendszerekben a számjegy helye a szám jelölésében nem határozza meg az általa képviselt értéket. Példa a nem pozíciós számrendszerre a római rendszer, amely latin betűket használ számként:

én V x L C D M

Számokban a számokat balról jobbra írjuk, csökkenő sorrendben. Egy szám nagyságát a számban lévő számjegyek összegeként vagy különbségeként határozzuk meg. Ha a kisebb szám balra van a nagyobbtól, akkor kivonjuk, ha jobbra, akkor összeadjuk. Például VI = 5 + 1 = 6 és IX = 10 - 1 = 9, CССXXVII=100+100+100+10+10+5+1+1=327.

BAN BEN helyzeti A számrendszerekben a számban lévő számjegyekkel jelölt érték a szám pozíciójától függ. A felhasznált számjegyek számát hívják alapján számrendszerek. A számban lévő egyes számjegyek helyét hívják pozíció.

Az első általunk ismert helyzeti elven alapuló rendszer a babiloni hatszázalékos. A benne szereplő számok kétféleek voltak, amelyek közül az egyik egységet, a másik tízet jelölt. A babiloni rendszer nyomai a mai napig fennmaradtak a szögek és időintervallumok mérési és rögzítési módszereiben.

Számunkra azonban a hindu-arab decimális rendszer a legnagyobb érték. Az indiánok voltak az elsők, akik nullát használtak egy mennyiség helyzeti jelentőségének jelzésére egy számsorban. Ezt a rendszert nevezték el decimális számrendszer, mert tíz számjegyű.

A pozíciós és a nem pozíciós számrendszerek közötti különbség jobb megértése érdekében vegyünk egy példát két szám összehasonlítására. A helyzetszámrendszerben két szám összehasonlítása a következőképpen történik: a vizsgált számokban balról jobbra az azonos pozíciójú számjegyeket hasonlítják össze. A nagyobb szám nagyobb számértéknek felel meg. Például a 123 és 234 számoknál az 1 kisebb, mint 2, tehát a 234 nagyobb, mint 123. Nem pozíciós számrendszerben ez a szabály nem érvényes. Példa erre két IX és VI szám összehasonlítása. Annak ellenére, hogy I kisebb, mint V, IX nagyobb, mint VI.

A számrendszer alapját, amelyben egy számot írnak, általában alsó index jelzi. Például az 555 7 egy hetes számrendszerben írt szám. Ha egy számot decimális rendszerben írunk, akkor az alapot általában nem tüntetik fel. A rendszer alapja is egy szám, amit a szokásos decimális rendszerben fogunk jelezni. Általában a szám x bázissal rendelkező rendszerben ábrázolható p, Hogyan

x=a n *p n +a n ―1*p n-1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0,

ahol a n ...a 0 ennek a számnak a reprezentációjában szereplő számok.

Tehát például 1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Számítógépen végzett munka során a legnagyobb érdeklődést a 2-es, 8-as és 16-os számrendszerek jelentik. Általánosságban elmondható, hogy ezek a számrendszerek általában elegendőek mind az ember, mind a számítógép teljes értékű munkájához. Időnként azonban különféle körülmények miatt más számrendszerekhez kell fordulni, például hármas, szeptális vagy 32-es alapszámrendszerekhez.

Ahhoz, hogy normálisan működhessünk az ilyen nem hagyományos rendszerekben írt számokkal, fontos megérteni, hogy alapvetően nem különböznek az általunk ismert decimális számrendszertől. Az összeadás, kivonás és szorzás ugyanazon séma szerint történik.

Miért nem használunk más számrendszereket? Főleg azért, mert mindennapi életünkben hozzászoktunk a decimális számrendszer használatához, és nincs szükségünk más számrendszerre. Számítógépekben a kettes számrendszert használják, mivel a bináris formában írt számok kezelése meglehetősen egyszerű.

A hexadecimális rendszert gyakran használják a számítástechnikában, mivel a számok beírása sokkal rövidebb, mint a bináris rendszerben. Felmerülhet a kérdés: miért nem használunk számrendszert, például 50-es bázist nagyon nagy számok írásához? Egy ilyen számrendszerhez 10 közönséges számjegyre plusz 40 előjelre van szükség, ami a 10-től 49-ig terjedő számoknak felelne meg, és nem valószínű, hogy valaki szívesen dolgozna ezzel a negyven karakterrel. Ezért a való életben gyakorlatilag nem használják a 16-nál nagyobb bázisokon alapuló számrendszereket.

Az információ bináris formában történő megjelenítésének technikája a következő játékkal magyarázható. A minket érdeklő információkat úgy kell megszereznünk a beszélgetőpartnertől, hogy bármilyen kérdést felteszünk, de válaszként csak az egyik IGEN vagy NEM választ kapjuk. Az információ bináris formájának beszerzésének jól ismert módja a párbeszéd során az összes lehetséges esemény felsorolása. Tekintsük az információszerzés legegyszerűbb esetét. Csak egy kérdést tesz fel: "Esik az eső?" Ugyanakkor egyetértünk abban, hogy azonos valószínűséggel várja a választ: „IGEN” vagy „NEM”. Könnyen belátható, hogy e válaszok bármelyike a legkisebb információt hordozza. Ez a rész egy bitnek nevezett információegységet határoz meg. Az információegység fogalmának bevezetésének köszönhetően lehetővé vált bármely információ méretének bitszámmal történő meghatározása. Képletesen szólva, ha például a talaj térfogatát köbméterben határozzuk meg, akkor az információ mennyiségét bitekben határozzuk meg. Állapodjunk meg, hogy minden pozitív választ 1-es számmal, negatív választ 0-val ábrázolunk. Ekkor az összes válasz rögzítése többértékű számsort képez, amely nullákból és egyesekből áll, például 0100.

Az emberek valószínűleg azért részesítik előnyben a decimális rendszert, mert ősidők óta az ujjukon számolnak. De az emberek nem mindig és nem mindenhol használták a decimális számrendszert. Kínában például sokáig használták a quináris számrendszert. A számítógépek a bináris rendszert használják, mert számos előnnyel rendelkezik másokkal szemben:

Megvalósításához két lehetséges állapotú műszaki elemeket használnak (áram van - nincs áram, mágnesezett - nem mágnesezett);

az információ csak két állapoton keresztül történő bemutatása megbízható és zajálló;

lehetőség van a Boole-algebra apparátusának felhasználására információk logikai transzformációinak végrehajtására;

A bináris aritmetika egyszerűbb, mint a decimális aritmetika (a bináris összeadási és szorzótáblák rendkívül egyszerűek).

A kettes számrendszerben csak két számjegy van, ezeket kettes számjegyeknek nevezzük. Ennek a névnek a rövidítése a bit kifejezés megjelenéséhez vezetett, amely egy bináris szám számjegyének neve lett. A bináris rendszer számjegyeinek súlya kettő hatványban változik. Mivel az egyes számjegyek súlyát megszorozzuk 0-val vagy 1-gyel, a szám eredő értékét a kettő megfelelő hatványainak összegeként határozzuk meg. Ha egy bináris szám bármely bitje 1, akkor azt szignifikáns bitnek nevezzük. Egy szám kettesben való írása sokkal hosszabb, mint a decimális számrendszerben.

A bináris rendszerben végrehajtott aritmetikai műveletek ugyanazokat a szabályokat követik, mint a decimális rendszerben. Csak a kettes számrendszerben fordul elő gyakrabban az egységek átvitele a legjelentősebb számjegyre, mint a decimális számrendszerben. Így néz ki egy összeadási táblázat binárisan:

Nézzük meg közelebbről, hogyan megy végbe a bináris számok szorzása. Szorozzuk meg az 1101-et 101-gyel (mindkét szám kettes számrendszerben van). A gép ezt a következőképpen teszi: felveszi az 1101 számot, és ha a második tényező első eleme 1, akkor beírja az összegbe. Ekkor az 1101-es számot egy pozícióval balra tolja, így 11010-et kap, és ha a második tényező második eleme eggyel egyenlő, akkor azt is hozzáadja az összeghez. Ha a második szorzó eleme nulla, akkor az összeg nem változik.

A bináris osztás a decimális osztásból ismert módszeren alapul, azaz szorzási és kivonási műveleteket hajt végre. A fő eljárás végrehajtása - az osztó többszörösének kiválasztása és az osztalék csökkentése - itt egyszerűbb, mivel egy ilyen szám csak 0 lehet, vagy maga az osztó.

Meg kell jegyezni, hogy a legtöbb számítógépen megvalósított számológép lehetővé teszi a 2-es, 8-as, 16-os és természetesen 10-es számrendszerekben való munkát.

Számítógépes hardver beállításakor vagy új program létrehozásakor szükségessé válik, hogy „belenézzünk” a gép memóriájába, hogy felmérjük annak aktuális állapotát. De ott minden tele van bináris számokból álló hosszú nullák és egyesek sorozataival. Ezek a sorozatok nagyon kényelmetlenek a decimális számok rövidebb jelöléséhez szokott személy számára. Ráadásul az emberi gondolkodás természetes képességei nem teszik lehetővé, hogy gyorsan és pontosan megbecsüljük egy szám méretét, amelyet például 16 nulla és egyes kombinációja képvisel.

A bináris számok könnyebb észlelése érdekében úgy döntöttek, hogy számjegycsoportokra osztják, például három vagy négy számjegyre. Ez az ötlet nagyon sikeresnek bizonyult, mivel egy hárombites sorozatnak 8 kombinációja van, a 4 bites sorozatnak pedig 16. A 8 és 16 számok kettő hatványai, így könnyen párosítható a bináris szám. Ezt az ötletet kidolgozva arra a következtetésre jutottunk, hogy a bitcsoportok kódolhatók, miközben a karaktersorozat hosszát csökkentjük. Három bit kódolásához nyolc számjegyre van szükség, ezért a decimális rendszer 0-tól 7-ig terjedő számokat vettünk. Négy bit kódolásához tizenhat karakter szükséges; Ehhez a decimális rendszer 10 számjegyét és a latin ábécé 6 betűjét vettük fel: A, B, C, D, E, F. Az így kapott 8-as és 16-os rendszereket oktálisnak, illetve hexadecimálisnak neveztük.

Az oktális számrendszer nyolc különböző számjegyet használ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. A rendszer alapja 8. Negatív számok írásakor a számsor elé mínusz jel kerül. . Az oktális számrendszerben szereplő számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása nagyon egyszerűen történik, ahogyan a jól ismert decimális számrendszerben is. A különböző programozási nyelvekben az oktális számok 0-val kezdődnek, például a 011 a 9-et jelenti.

A hexadecimális számrendszer tíz különböző számjegyből és a latin ábécé első hat betűjéből áll. Negatív számok írásakor tegyen egy mínusz jelet a számsor bal oldalára. Annak érdekében, hogy számítógépes programok írásakor a hexadecimálisan írt számokat meg lehessen különböztetni a többitől, a szám elé 0x kerül. Vagyis a 0x11 és a 11 különböző számok. Más esetekben a számrendszer alapját alsó indexszel jelezheti.

A hexadecimális számrendszert széles körben használják a különböző színárnyalatok megadására grafikus információk kódolásakor (RGB modell). Így a Netscape Composer hiperszövegszerkesztőben beállíthatja a háttér vagy a szöveg színét decimális és hexadecimális számrendszerben is.