Csoportelmélet. A tudományos felfedezés története. Csoportelmélet - a tökéletesség tudománya A csoportelmélet létrejöttének története

Meghívlak a csoportelméletről szóló minikurzusomra, amelyet „Iskolacsoportelméletnek” neveztem el.

Úgy gondolom, hogy a csoportelméletet a középső évfolyamon kell tanulni - körülbelül egy időben a szimbolikus jelölés bevezetésével (x, y, z stb. betűk) Mivel az absztrakciós szint, amely a csoport általános fogalmához vezet a egy adott modul maradékainak (egyrészt) és permutációinak rendszerei (másrészt), nem magasabbak, mint a 3,4,5 számoktól a szimbólumokig való absztrakció szintje. A permutációk már második vagy harmadik osztályban könnyen megérthetők és elsajátíthatók, akárcsak egy adott modul maradékrendszerei.

A minitanfolyamon áthidalom a csoportelmélethez kapcsolódó iskolai oktatás hiányosságait és konkrét csoportpéldákat. Megállapítjuk a maradékokkal kapcsolatos alapvető tényeket, bebizonyítjuk Fermat kis tételét, tanulmányozzuk a három és négy szimbólumon lévő permutációs csoportok alcsoportjait, bemutatjuk egy adott csoport normál alcsoportjának fogalmát és a csoport egyszerűségét.

Ekkor bebizonyosodik, hogy a páros permutációk csoportja n≥5 szimbólumon egyszerű (ami utat nyit az algebrai egyenletek gyökökben való megoldhatóságával kapcsolatos kérdésekhez), és az is, hogy a sík (tér) fordítások alcsoportja normális a megfelelő objektum összes (affin) mozgásának csoportja . Az alacsony dimenziójú mozgáscsoportok teljes jellemzést kapnak (Chales-tétel és a különböző típusú mozgások összetételének törvényei).

Alekszej Savvatejev

A geometria - klasszikus euklideszi, lobacsevszkij, projektív és gömb alakú - nem kap kellő figyelmet a modern matematika tanszékek programjain (nem beszélve az iskolákról). Ugyanakkor látványos és rendkívül szép. Sok állítás vizuálisan nyilvánvaló és egyben váratlan (miért száll fel először egy Irkutszkból Lisszabonba repülő repülőgép Norilszk irányába?) 8 előadás során a hallgatók megismerkednek a matematika ezen területével kapcsolatos kezdeti információkkal , amely több mint kétezer évvel ezelőttre nyúlik vissza. Sokkal összetettebb anyaggal fejezzük be, amely közvetlenül a modern tudományágak felé vezet. A csoportelmélet és a Lie algebrák alapjairól lesz szó.

Alekszej Savvatejev

A Galois-elmélet az algebra egyik ága, amely lehetővé teszi a térelmélet egyes kérdéseinek újrafogalmazását a csoportelmélet nyelvén, bizonyos értelemben egyszerűbbé téve azokat. A Galois-elmélet egyetlen, elegáns megközelítést kínál a klasszikus problémák megoldására: milyen alakzatokat lehet megszerkeszteni körzővel és vonalzóval? Mely algebrai egyenletek oldhatók meg standard algebrai műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás és gyökerezés)?

Alekszej Savvatejev

Alekszej Savvatejev, Alekszej Szemihatov

A tudomány kérdése

Miért állnak a matematikusok folyamatosan új megoldhatatlan problémákkal? Miért van szükség a modern matematikára? A tudósok között nincs olyan, aki megértené a modern matematikai tudományok minden területét. A matematikusok pedig újabb és újabb megoldhatatlan problémákkal állnak elő, majd évtizedekig küszködnek velük. Mire való ez az egész? És mi köze a matematikának az életünkhöz? A program vendége Alekszej Savvatejev, a fizikai és matematikai tudományok doktora. Alekszej Szemihatov interjút készített.

Alekszandr Bufetov

Anatolij Versik

Csak a közelmúltban, és mint mindig, egyidejűleg és egymástól függetlenül a matematikusok több csoportjának különböző okokból kellett szisztematikusan tanulmányoznia egy adott csoport véletlenszerűen kiválasztott alcsoportjait. Az előadó számára ez az alkalom az volt, hogy egy adott csoport összes alcsoportjának rácsán konjugációinvariáns mértékeket találjon. Ez a probléma fontos a reprezentációk elmélete (egyes csoportok faktorreprezentációi), valamint magának a dinamikus rendszerek elméletének (teljesen nem szabad cselekvések) szempontjából. További okok a Betti-számok aszimptotikája lokálisan szimmetrikus tereken, a csoportok cselekvései a fákon, a véletlenszerű homogén tereken való séták elmélete, és úgy tűnik, ez még nem minden. A jelentés az általános fogalmakkal, egy alapvető példa elemzésével foglalkozik, nevezetesen, hogy mi a szimmetrikus csoport véletlenszerű alcsoportja - véges és végtelen, és végül annak magyarázata, hogy mindez hogyan kapcsolódik a karakterek elméletéhez.

Jevgenyij Szmirnov

A reflexiós csoportok egy állandó görbületű tér (gömb, euklideszi vagy hiperbolikus tér) mozgásainak diszkrét csoportja, amelyet reflexiók halmaza generál. A reflexiós csoportok meglepően gyakran jelennek meg különböző algebrai problémákban.

Ivan Arzhancev

Ez a kurzus olyan csodálatos és teljesen elemi objektumokat tanulmányoz, mint a véges dimenziós kommutatív asszociatív algebrák komplex számokon. Itt meglehetősen könnyű bizonyítani az első szerkezeti eredményeket, de a teljes osztályozás aligha lehetséges. Megvitatjuk a véges dimenziós algebrákkal való munkavégzés különféle technikáit (maximális ideálok és lokális algebrák, szűrés és osztályozás, Hilbert-Samuel szekvencia és sokkusz), és explicit leírást kapunk az alacsony dimenziós algebrákról. Kiderült, hogy a véges dimenziós algebrák szorosan összefüggenek a kommutatív mátrixcsoportok nyílt pályán végzett műveleteivel affin és projektív tereken. Elmagyarázzuk ezt az összefüggést. A magyarázat során természetesen felmerülnek olyan fogalmak, mint a lineáris operátor kitevője, a csoportreprezentáció és a ciklikus modul, a Lie algebra és annak univerzális burkológörbéje.

Mihail Tyomkin

Ha a tetraédereket egymás mellé helyezzük az arcuk mentén, példákat kaphatunk egyszerű komplexekre - egy fontos matematikai objektumra. Színezzük ki egy ilyen szerkezet háromszögeit fekete-fehérre, és nevezzük a színezést jónak, ha minden tetraédernek azonos számú fekete-fehér lapja van. Kiderül, hogy a (szabványosan leegyszerűsítve felosztott) kisdimenziós gömböknél a fehér háromszögek halmaza tanulmányozásra érdemes tárgynak bizonyul: Möbius-csíknak vagy projektív síknak. Ha pontosan leírjuk, hogy ezek az objektumok hogyan vannak háromszögekre osztva, akkor természetesen megkapjuk az ikozaédert – egy csodálatos szabályos poliédert. Az önkombinációk csoportjának tanulmányozása lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük, hány jó színezés létezik. Útközben olyan fontos matematikai alapfogalmakkal fogunk találkozni, mint a fent említett egyszerűsített komplex- és szimmetriacsoport, cselekvés stb.

Ivan Losev

Az előadások alapvető információkat mutatnak be a véges csoportok reprezentációinak elméletéből, kifejtik Vershik és Okunkov megközelítését a szimmetrikus csoportok reprezentációihoz, beszélnek arról, hogy mi történik a pozitív karakterisztikában, és mi köze van ehhez a Lie algebrának. A kurzus legyen érthető az első évtől kezdődően az algebra tantárgyat jól elsajátított hallgatók számára.

Csoportelmélet

csoport (matematika)

Csoportelmélet

Alapfogalmak

Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport (félig) Közvetlen termék

Topológiai

Hazugság csoport

O(n) ortogonális csoport

Különleges egységes csoport SU(n)

G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz csoport

Poincaré csoport

Lásd még "Fizikai portál"

A csoportelmélet az absztrakt algebra egyik ága, amely a csoportoknak nevezett algebrai struktúrákat és azok tulajdonságait vizsgálja.

A csoportelmélethez kapcsolódó definíciók listáját a Csoportelméleti kifejezések szószedetében találja.

Sztori

A csoportelméletnek három történelmi gyökere van: az algebrai egyenletek elmélete, a számelmélet és a geometria. A matematikusok, akik a csoportelmélet kiindulópontjánál álltak: Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Joseph Louis Lagrange, Niels Henrik Abel és Évariste Galois. Galois volt az első matematikus, aki összekapcsolta a csoportelméletet az absztrakt algebra egy másik ágával, a mezőelmélettel, kidolgozva a ma Galois-elméletnek nevezett elméletet.

Az egyik első probléma, amely a csoportelmélet megjelenéséhez vezetett, egy m fokú egyenlet megszerzésének problémája volt, amelynek m gyökere lenne egy adott n (m) fokú egyenletnek.< n ). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

A permutációelméletre épülő egyenletelmélet általános alapja 1770-1771. megtalálta Lagrange, és ezen az alapon a helyettesítések elmélete később növekedett. Felfedezte, hogy az összes általa talált rezolvens gyökerei a megfelelő egyenletek gyökeinek racionális függvényei.

E függvények tulajdonságainak tanulmányozására kidolgozta a "kombinációszámítást" (Calcul des Combinaisons). Vandermonde (1770) korabeli munkája szintén előrevetítette a csoportelmélet fejlődését.

Paolo Ruffini 1799-ben bizonyítást javasolt az ötödik és magasabb hatványok egyenletek gyökökben való feloldhatatlanságára. Ennek bizonyítására a csoportelmélet fogalmait használta fel, bár más néven nevezte őket. Ruffini közzé is tett egy levelet, amelyet Abbati írt neki, amelynek vezérmotívuma a csoportelmélet volt.

Galois felfedezte, hogy ha egy algebrai egyenletnek több gyöke van, akkor ezeknek a gyökeknek mindig van egy csoportja, így 1) minden függvény, amely a csoport permutációi alatt invariáns, racionális, és fordítva, 2) a gyökök minden racionális függvénye. invariáns a csoport permutációi alatt. Első csoportelméleti munkáit 1829-ben, 18 évesen publikálta, de gyakorlatilag észrevétlen maradt, amíg összegyűjtött művei 1846-ban megjelentek.

Arthur Cayley és Augustin Louis Cauchy az első matematikusok között voltak, akik felismerték a csoportelmélet fontosságát. Ezek a tudósok az elmélet néhány fontos tételét is bebizonyították. Az általuk tanulmányozott témát Serret népszerűsítette, aki algebráról szóló könyvének egy részét az elméletnek szentelte, Jordan, akinek Traité des Substitutions című műve klasszikussá vált, és Eugene Netto (1882) ). ), amelynek munkáját Cole 1892-ben fordította le angolra. A 19. század számos matematikusa is nagyban hozzájárult a csoportelmélet fejlődéséhez: Bertrand, Hermite, Frobenius, Kronecker és Mathieu.

A „csoport” fogalmának modern meghatározását csak 1882-ben Walter von Duke adta meg.

1884-ben Sophus Lie kezdeményezte a jelenleg Lie-csoportoknak nevezett transzformációs csoportok és diszkrét alcsoportjaik tanulmányozását; műveit Killing, Studi, Schur, Maurer és Elie Cartan követték. A diszkrét csoportok elméletét Klein, Lee, Poincaré és Picard dolgozta ki a moduláris formák és más objektumok tanulmányozása kapcsán.

A 20. század közepén (főleg 1955 és 1983 között) hatalmas munka folyt az összes véges egyszerű csoport osztályozásán, köztük több tízezer oldalnyi dolgozat.

Sok más matematikus, mint például Artin, Emmy Noether, Ludwig Silow és mások szintén jelentős mértékben hozzájárultak a csoportelmélethez.

Az elmélet rövid leírása

A csoport fogalma a geometriai objektumok szimmetriájának és ekvivalenciájának formális leírása eredményeként jött létre. Felix Klein Erlangen programjában a geometria tanulmányozását a transzformációk megfelelő csoportjainak tanulmányozásával társították. Például, ha az ábrák egy síkon vannak megadva, akkor egy mozgáscsoport határozza meg egyenlőségüket.

Meghatározás . A csoport olyan (véges vagy végtelen) elemek halmaza, amelyeken egy szorzási művelet van megadva, amely kielégíti a következő négy axiómát:

Csoport zártsága a szorzás művelete alatt . Egy csoport bármely két eleméhez van egy harmadik, ami az ő elemük2. rendű szabad csoportgrafikon munka szerint:

Az asszociativitásszorzási műveletek. A szorzás sorrendje lényegtelen:

Egyetlen elem létezése. A csoportban van néhány E elem, amelynek szorzata a csoport bármely A elemével ugyanazt az A elemet adja:

Inverz elem létezése. A csoport bármely A eleméhez tartozik egy A −1 elem, amelynek szorzata adja az E identitáselemet:

A csoport axiómái semmilyen módon nem szabályozzák a szorzási művelet függőségét a tényezők sorrendjétől. Ezért általánosságban elmondható, hogy a tényezők sorrendjének megváltoztatása hatással van a termékre. Azokat a csoportokat, amelyeknél a szorzat nem függ a tényezők sorrendjétől, kommutatív vagy Abeli-csoportoknak nevezzük. Egy Abeli ​​csoportnak

Az Abel-csoportok meglehetősen ritkák a fizikai alkalmazásokban. A fizikai jelentéssel bíró csoportok leggyakrabban nem abeliek:

A kis méretű véges csoportokat célszerű az ún. "Szorzótáblák". Ebben a táblázatban minden sor és oszlop a csoport egy-egy elemének felel meg, és a megfelelő elemekre vonatkozó szorzási művelet eredménye a sor és oszlop metszéspontjában lévő cellába kerül.

Az alábbiakban egy példa látható egy szorzótáblára (Cayley-tábla) egy négy elemből álló csoporthoz: (1, -1, i, -i), amelyben a művelet közönséges aritmetikai szorzás:

Az azonosságelem itt 1, az 1 és a −1 inverzei önmaguk, az i és -i elemek pedig egymás inverzei.

Ha egy csoportnak végtelen sok eleme van, akkor végtelen csoportnak nevezzük.

Ha egy csoport elemei folyamatosan függenek bizonyos paraméterektől, akkor a csoportot folytonosnak vagy Lie csoportnak nevezzük. A hazugságcsoportot olyan csoportnak is nevezik, amelynek elemei egy sima sokaságot alkotnak. A Lie csoportokat szimmetriacsoportként használva differenciálegyenletekre találunk megoldásokat.

A csoportokat mindenütt használják a matematikában és a tudományban, gyakran az objektumok belső szimmetriájának felfedezésére (automorfizmus csoportok). A belső szimmetriát általában invariáns tulajdonságokkal társítják; az ezt a tulajdonságot megőrző transzformációk halmaza a kompozíció műveletével együtt szimmetriacsoportnak nevezett csoportot alkot.

BAN BEN A Galois-elmélet, amelyből a csoport fogalma született, a csoportokat olyan egyenletek szimmetriájának leírására használják, amelyek gyökerei egyesek gyökerei. polinomiális egyenlet. Az elméletben betöltött fontos szerepük miatt a megoldható csoportok a nevüket kapják.

BAN BEN algebrai topológia csoportok a topológiai terek invariánsainak leírására szolgálnak. Az invariánsok alatt a tér olyan tulajdonságait értjük, amelyek nem változnak, ha valamilyen módon deformálódnak. A csoportok ilyen felhasználási példái az alapcsoportok, a homológia és a kohológia csoportok.

A hazugságcsoportokat differenciálegyenletek és sokaságok tanulmányozására használják; kombinálják a csoportelméletet és a matematikai elemzést. Az ezekhez a csoportokhoz kapcsolódó elemzési területet harmonikus elemzésnek nevezzük.

A kombinatorikában a permutációs csoportok és a csoportműveletek fogalmát használják a halmaz elemszámának kiszámításának egyszerűsítésére; különösen gyakran használják Burnside lemmáját.

A csoportelmélet megértése nagyon fontos a fizika és más természettudományok számára is. A kémiában a csoportokat a kristályrácsok és a molekuláris szimmetriák osztályozására használják. A fizikában a csoportokat a fizikai törvényeknek engedelmeskedő szimmetriák leírására használják. A fizikában különösen fontosak a csoportok, különösen a Lie-csoportok reprezentációi, mivel gyakran mutatnak utat a „lehetséges” fizikai elméletek felé.

Egy csoportot ciklikusnak nevezünk, ha egy a elem generálja, vagyis minden eleme a hatványa (vagy ha additív terminológiát használunk, akkor na formában ábrázolható, ahol n egész szám). Matematikai jelölés: .

Azt mondják, hogy a csoport díszletre hat, ha homomorfizmust adunk a csoportból

a halmaz összes permutációjának csoportjába. A rövidség kedvéért gyakran vagy vagy.

Példák csoportokra

A legegyszerűbb csoport a szokásos aritmetikai szorzási művelettel rendelkező csoport, amely az 1. elemből áll. Az 1. elem a csoport azonossági eleme és annak inverze:

A következő egyszerű példa egy csoport a szorzás szokásos aritmetikai műveletével, amely (1, -1) elemekből áll. Az 1. elem a csoport identitáseleme, a csoport mindkét eleme önmagával fordított:

A szorzás viszonylag közönséges aritmetikai műveletének csoportja egy négy elemből (1, -1, i, -i) álló halmaz. Az azonosságelem itt 1, az 1 és a -1 inverzei önmaguk, az i és -i elemek pedig egymás inverzei.

Egy csoport a tér két 0°-os és 180°-os elforgatása egy tengely körül, ha kettő szorzata

fordulatok szekvenciális végrehajtásuknak számítanak. Ezt a csoportot általában C 2 -vel jelölik. Izomorf (azaz azonos) a fenti 1-es és -1-es elemű csoporttal. 0°-os szögben elforgatni, mert az

azonos, a táblázatban E betűvel jelöljük.

A csoportot az azonos E transzformációval együtt az I inverziós művelet alkotja, amely megfordítja az egyes vektorok irányát. A csoportművelet két inverzió egymás utáni végrehajtása. Ezt a csoportot általában S 2 -vel jelölik. Izomorf a fenti C2 csoporttal.

A C2 csoporttal analóg módon létrehozható a C3 csoport, amely a sík 0°, 120° és 240° szögben történő elforgatásából áll. Azt mondhatjuk, hogy a C 3 csoport egy egyenlő oldalú háromszöget önmagává alakító forgáscsoport.

A C3 csoport elemei

Ha a C csoporthoz hozzáadjuk a háromszög három szimmetriatengelyéhez (R1, R2, R3) viszonyított 3 reflexiót, akkor egy teljes műveletcsoportot kapunk, amely a háromszöget önmagává alakítja. Ezt a csoportot ún

D3.

A D3 csoport elemei

A gyökerek permutációinak csoportjait korábban mások is tanulmányozták Lagrange és . De vitathatatlan annak érdeme, aki a fogalmak lényeges tulajdonságait megfogalmazta és új és nehéz problémák megoldására alkalmazta. Ezt Galois francia matematikus tette a csoport fogalmára. Csak munkája után vált a matematikusok tanulmányi tárgyává.

Évariste Galois (1811–1832) Bourg-la-Reine-ben született. 1823-ban Evariste szülei a párizsi Royal College-ba küldték tanulni. Itt kezdett érdeklődni a matematika iránt, és önállóan kezdte tanulmányozni Legendre, Euler, Lagrange és Gauss műveit.

Galois-t teljesen megragadták Lagrange ötletei. Úgy tűnik neki, mint egykor Ábelnek, hogy megtalálta a megoldást egy ötödfokú egyenletre. Sikertelen kísérletet tesz, hogy bekerüljön az Ecole Polytechnique-be, de Legendre és Lagrange műveinek ismerete nem volt elegendő, így Galois visszatér a főiskolára.

Itt mosolyog rá először a boldogság - találkozik egy tanárral, aki értékelni tudta zsenialitását. Richard tudta, hogyan kell felülemelkedni a hivatalos programokon, tisztában volt a tudomány fejlődésével, és igyekezett kitágítani tanítványai látókörét. Richard megjegyzései Evariste-ról egyszerűek: „Csak a matematika legmagasabb területein dolgozik.”

És valóban, Galois már tizenhét évesen megkapta első tudományos eredményeit. 1829-ben megjelent a „Tétel bizonyítása periodikus törtekre” című jegyzete. Ezzel egy időben Galois egy másik művet is bemutatott a Párizsi Tudományos Akadémiának. Eltévedt Koshynál.

Galois másodszor is megpróbál bejutni a Műszaki Iskolába, de ismét kudarcot vall. Ehhez hamarosan hozzáadódott a fiatalembert megdöbbentő esemény: a politikai ellenfelek által üldözve apja öngyilkos lett. A szerencsétlenségek, amelyek Evarist érte, elkerülhetetlenül megviselték: ideges lett és izgatott lett.

1829-ben Galois belépett a normál iskolába. A tanári címre jelölteket képezte ki. Itt Evariste az algebrai egyenletek elméletével foglalkozott, és 1830-ban beadta munkáját a Párizsi Tudományos Akadémia versenyére, sorsa az Akadémia állandó titkára, Fourier kezében volt. Fourier olvasni kezdi a kéziratot, de hamarosan meghal. A második kézirat az elsőhöz hasonlóan eltűnik.

Galois életében fontos eseményekkel teli időszak jött el. Belépett a republikánusokhoz, belépett a Népbarátok Társaságába, és beállt a Nemzetőrség tüzérségéhez. A vezetés ellen való felszólalása miatt kizárták a Normál Iskolából.

1831. július 14-én a Bastille megrohanásának következő évfordulójára emlékezve a republikánusok tüntetését tartották. A rendőrség sok tüntetőt letartóztatott, köztük Galois-t. Galois perére 1831. október 23-án került sor. 9 hónap börtönbüntetésre ítélték. Galois a börtönben folytatta kutatásait.

1832. május 30-án reggel egy párbaj során Gentilly városában Galois halálosan megsebesült egy golyó miatt a gyomrában. Egy nappal később meghalt.

Galois matematikai munkái, legalábbis azok, amelyek fennmaradtak, hatvan kis oldalt tesznek ki. Ilyen kis volumenű művek még soha nem hoztak ekkora hírnevet a szerzőnek.

1832-ben Galois, miközben börtönben volt, készített egy programot, amelyet csak hetven évvel halála után adtak ki. De még a huszadik század elején sem váltott ki komoly érdeklődést, és hamar feledésbe merült. Csak a modern matematikusok valósították meg végül Galois álmát, akik folytatták a tudósok sok generációjának munkáját.

„Könyörgöm a bíráimnak, hogy legalább ezt a néhány oldalt olvassák el” – kezdte híres emlékiratát Galois. Galois gondolatai azonban olyan mélyek és átfogóak voltak, hogy akkoriban minden tudós számára valóban nehéz volt értékelni őket.

"...Tehát úgy gondolom, hogy a számítások javításával elért egyszerűsítések (persze alapvető egyszerűsítésekre gondolunk, nem technikaira) egyáltalán nem határtalanok. Eljön a pillanat, amikor a matematikusok olyan világosan képesek lesznek előre látni az algebrai transzformációkat, hogy A gondos elvégzésükre fordított idő- és papírráfordítás megszűnik kifizetődőnek Nem azt mondom, hogy az elemzés nem tud valami újat elérni ilyen előrelátáson túl, de úgy gondolom, hogy enélkül egy szép napon minden eszköz hiábavaló lesz.

A számításokat az akaratodnak alárendelni, a matematikai műveleteket csoportosítani, megtanulni a nehézségi fok szerint osztályozni, és nem külső jelek szerint - ezek a jövő matematikusainak feladatai, ahogy én értem, ez az út követni akarom.

Senki ne keverje össze lelkesedésemet néhány matematikus azon vágyával, hogy elkerüljék a számításokat. Az algebrai képletek helyett hosszú argumentumokat használnak, és a matematikai transzformációk nehézkességét növelik e transzformációk szóbeli leírásának nehézkessé tételével, az ilyen feladatok elvégzésére nem alkalmas nyelv használatával. Ezek a matematikusok száz évvel le vannak maradva.

Itt semmi ilyesmi nem történik. Itt elemző elemzést végzek. Ugyanakkor a jelenleg ismert transzformációk (elliptikus függvények) közül a legösszetettebbeket csak speciális eseteknek tekintik, nagyon hasznosnak, sőt szükségesnek, de még mindig nem általánosnak, így a további szélesebb körű kutatás elutasítása végzetes hiba lenne. Eljön az idő, amikor az itt vázolt magasabb elemzésben tárgyalt átalakítások ténylegesen megvalósulnak, és a nehézségi fok, nem pedig az itt felmerülő funkciók szerint lesznek osztályozva."

Itt kell figyelni a „csoportos matematikai műveletek” szavakra. Galois ez alatt kétségtelenül a csoportelméletet érti.

Mindenekelőtt Galois-t nem az egyes matematikai problémák érdekelték, hanem az általános gondolatok, amelyek meghatározzák a szempontok teljes láncolatát, és irányítják a logikai gondolatmenetet. Bizonyítékai egy mély elméleten alapulnak, amely lehetővé teszi az addig elért eredmények összesítését, és hosszú időre meghatározza a tudomány fejlődését. Néhány évtizeddel Galois halála után David Hilbert német matematikus ezt az elméletet „a fogalmak meghatározott keretének felállításának” nevezte. De nem számít, milyen nevet fűznek hozzá, nyilvánvaló, hogy a tudás nagyon nagy területét fedi le.

"A matematikában, mint minden más tudományban" - írta Galois - "vannak olyan kérdések, amelyek pillanatnyilag megoldást igényelnek. Ezek azok a sürgető problémák, amelyek megragadják a haladó gondolkodók elméjét, függetlenül saját akaratuktól és tudatától."

Az egyik probléma, amin Évariste Galois dolgozott, az algebrai egyenletek megoldása volt. Mi történik, ha csak numerikus együtthatós egyenleteket veszünk figyelembe? Hiszen megtörténhet, hogy bár nincs általános képlet az ilyen egyenletek megoldására, az egyes egyenletek gyökerei gyökökben fejezhetők ki. Mi van, ha nem ez a helyzet? Akkor kell lennie valamilyen előjelnek, amely lehetővé teszi, hogy meghatározzuk, hogy egy adott egyenlet gyökökben megoldott-e vagy sem? Mi ez a jel?

Galois első felfedezése az volt, hogy csökkentette a jelentésük bizonytalanságát, vagyis megállapította e gyökerek egyes „tulajdonságait”. A második felfedezés arra a módszerre vonatkozik, amellyel Galois ezt az eredményt megszerezte. Ahelyett, hogy magát az egyenletet tanulmányozta volna, Galois annak „csoportját”, vagy képletesen szólva „családját” tanulmányozta.

„A csoport – írja A. Dalma – olyan objektumok gyűjteménye, amelyeknek bizonyos közös tulajdonságaik vannak. Vegyük például a valós számokat ilyen objektumoknak. A valós számok csoportjának általános tulajdonsága, hogy ha tetszőleges kettőt megszorozunk. Ennek a csoportnak az elemei egy valós számot is kapunk, a geometriában vizsgált síkon a mozgások a valós számok helyett „objektumként” jelenhetnek meg, ebben az esetben a csoport tulajdonsága, hogy bármely két mozgás összege ismét mozgást ad. Az egyszerű példáktól a bonyolultabbak felé haladva "objektumokkal" választhatunk ki néhány műveletet az objektumokon. Ebben az esetben a csoport fő tulajdonsága az lesz, hogy bármely két művelet összetétele is művelet. Ez az eset volt Tekintettel a megoldandó egyenletre, hozzárendelt egy bizonyos műveletcsoportot (a sajnos itt nincs lehetőségünk tisztázni, hogyan történik ez), és bebizonyította, hogy az egyenlet tulajdonságai tükröződnek ennek a csoportnak a jellemzőiben. Mivel a különböző egyenleteknek ugyanaz a csoportja lehet, elegendő a megfelelő csoportot figyelembe venni ezen egyenletek helyett. Ez a felfedezés jelentette a matematika fejlődésének modern szakaszának kezdetét.

Bármilyen „tárgyakból” is álljon a csoport: számokból, mozgásokból vagy műveletekből, ezek mind elvont elemeknek tekinthetők, amelyeknek nincs semmilyen sajátos jellemzője. Egy csoport meghatározásához csak általános szabályokat kell megfogalmazni, amelyeknek teljesülniük kell ahhoz, hogy egy adott „objektum” gyűjteményt csoportnak nevezhessünk. Jelenleg a matematikusok az ilyen szabályokat csoportaxiómáknak nevezik; a csoportelmélet ezen axiómák összes logikai következményének felsorolásából áll. Ugyanakkor folyamatosan újabb és újabb ingatlanokat fedeznek fel; Bizonyításukkal a matematikus egyre jobban elmélyíti az elméletet. Fontos, hogy sem maguk az objektumok, sem a rajtuk végzett műveletek nincsenek megadva semmilyen módon. Ha ezek után egy adott probléma tanulmányozásakor figyelembe kell venni néhány speciális matematikai vagy fizikai objektumot, amelyek csoportot alkotnak, akkor az általános elmélet alapján előre láthatóak azok tulajdonságai. A csoportelmélet tehát jelentős költségmegtakarítást biztosít; Emellett új lehetőségeket nyit meg a matematika kutatási felhasználásában."

A csoport fogalmának bevezetése megszabadította a matematikusokat a sokféle elmélet mérlegelésének megterhelő feladatától. Kiderült, hogy csak ennek vagy annak az elméletnek a „főbb jellemzőit” kell kiemelni, és mivel lényegében teljesen hasonlóak, elég ugyanazzal a szóval megjelölni őket, és azonnal világossá válik, hogy értelmetlen külön tanulmányozni őket.

Galois arra törekszik, hogy új egységet hozzon a kiterjesztett matematikai apparátusba. A csoportelmélet mindenekelőtt rendet teremt a matematikai nyelvben.

A csoportelmélet a 19. század végétől nagy hatással volt a matematikai elemzés, a geometria, a mechanika és végül a fizika fejlődésére. Ezt követően a matematika más területeire is behatolt – a Lie-csoportok a differenciálegyenletek elméletében, a Klein-csoportok a geometriában jelentek meg. A mechanikában és a relativitáselméletben a galilei csoportok is megjelentek.