Szerkessze meg két sík metszésvonalát online. Különböző módon meghatározott síkok metszésvonalának megalkotása. Távolság ponttól vonalig
Két sík metszésvonalát két pont, amelyek mindegyike mindkét síkhoz tartozik, vagy egy két síkhoz tartozó pont és az egyenes ismert iránya határozza meg. Mindkét esetben a két síkkal közös pont megtalálása a feladat.
Általános technika két sík metszésvonalának megszerkesztésére az alábbiak. Bevezetünk egy segédsíkot, megszerkesztjük a segédsík metszésvonalait két megadottal, és megtaláljuk a két sík közös pontját a megszerkesztett egyenesek metszéspontjában. A második közös pont megtalálásához a konstrukciót megismételjük egy másik segédsík segítségével.
ábrán. A 4.5 a metszésvonal vizuális ábrázolását mutatja K, K 2 két repülőgép levegő.
A légi síkok metszésvonala (4.6. ábra) első közös pontjának felépítésének vizuális ábrázolásához egy segédeszköz
repülőgép u. A síkkal és az egyenes mentén metszi 1–2, β síkkal – az egyenes mentén 3–4. A vonalak metszéspontjában 1–2 És 3– 4 az első közös pont meghatározása K Két sík közül 1 a levegő a metszésvonaluk első pontja.
A metszésvonal második pontja ugyanígy van megszerkesztve.
Két sík metszésvonalának megalkotásának speciális esete, amikor az egyik sík vetül. Ebben az esetben a metszésvonal felépítését leegyszerűsíti, hogy az egyik vetülete egybeesik a vetületi sík vetületével arra a vetítési síkra, amelyre merőleges.
Példaként az ábrán. 4.7 mutatja a vetületek felépítését Μ"Ν", Μ"Ν" metszésvonalak MN az a síkot frontálisan a háromszög síkjával vetítve ABC.
A frontális vetületen a vetületek metszéspontjában A"B"És Egy "C" a nyomvonallal frontális vetületeket találunk M"wN" adott síkok két közös pontja. Ezek alapján vízszintes vetületek készültek M"És N" vízszintes vetületeken A "B"És A"C a háromszög oldalai. Pontokon keresztül M"és A" megrajzoljuk a síkok metszésvonalának vízszintes vetületét. Ha az 5. nyilat a frontális vetület mentén nézzük, akkor nyilvánvaló, hogy a háromszög egy része a metszésvonaltól balra van MN(M"N") az a sík felett van, t.c. látható, a többi az a sík alatt, azaz láthatatlan (szakasz M"B"C"N" szaggatott vonallal ábrázolva).
Egy másik példa két háromszöglap metszésvonalának megszerkesztésére ABCÉs DEF amelyek közül az egyik (DEF)ábrán látható vízszintes vetületi síkként van megadva. 4.8. Vízszintes vetületen a vízszintes vetületek metszéspontjában A "B"És IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT száz-
Ron AABC vetítéssel D"E"F" a második háromszögből vízszintes vetületeket találunk M"És N" metszéspontjaik. Ezek szerint az oldalak frontális vetületein A „B"És "C"-ben frontális vetületek megalkotása M"tl N" metszéspontok MN. Az elülső vetületen a háromszögek egyes részeinek láthatóságát figyeljük meg, a következőktől vezérelve: ha a vízszintes vetületen az 5-ös nyíl mentén nézünk, nyilvánvaló, hogy az oldal A.C. a háromszög síkja előtt van DEF.
Ezért az oldal A.C.és a háromszög általa határolt része ABCro metszésvonalak MN látható (azaz a négyszög frontális vetülete látható A "C"N"M").
ábrán. A 4.9. ábra a vetületek felépítését mutatja M"N", M"Ν" két sík metszésvonalai, amelyek közül az egyiket vetületek határozzák meg A "B", B "C", A "B", B" C két egymást metsző egyenes, a másik - vetületek - D"E", F"G", D"E", F"G" két párhuzamos egyenes.
A nyomvonalak által meghatározott két vízszintes síkot segédsíknak veszünk y"és δ".
A δ sík egyenes vonalban metszi az első megadott síkot 1–2, a második - egyenes vonalban 3–4. Frontális vetületek szerint 1",2" És 3 ", 4" kommunikációs vonalak segítségével vízszintes vetületeket találunk 1", 2" És 3", 4" vízszintes vetületeken/* "B", B" C, D" E", F" G"
egyenes Rajtuk keresztül vízszintes vetületeket rajzolunk 1 "2" És 3"4" metszésvonalak. Jelölj meg egy pontot M"– közös pont vízszintes vetítése M három sík - két adott és segéd 8. Segítségével meghatározzuk a frontális vetületet M" a 8"-os segédsík frontális nyomán.
Az y és 8 segédsíkok párhuzamosak. Adott síkokkal való metszésvonalaik páronként párhuzamosak. Ezért az y sík és az adott sík metszésvonalainak vízszintes vetületei a vetületen keresztül kerülnek megrajzolásra. BAN BEN" párhuzamos a vetülettel 1 "2" és projekción keresztül 5" párhuzamos a vetülettel 3 "4 A kereszteződésükben vízszintes vetületet találtak N" három sík második közös pontja, azaz két adott sík metszésvonala. Mentén frontális vetületet építettünk a segédsík frontális nyomvonalára N". A felépített vetületeken keresztül M", N"És M",N" Megrajzoljuk a kívánt metszésvonal frontális és vízszintes vetületeit.
3.6. Két sík metszésvonalának megalkotása
A két sík kölcsönös metszéspontjával kapott egyenest két pont határozza meg, amelyek mindegyike egyidejűleg mindkét síkhoz tartozik.
ábrán. 3.37 az ABC háromszög által meghatározott általános helyzetsík metszi a DEF háromszög által meghatározott frontálisan vetülő síkot Mivel a DEF háromszög a V síkra egy D "F" egyenes formájában van kivetítve, így mindkettő metszésvonalának frontális vetülete síkok egy K 1 "K2" szakasz. Megtaláljuk a vízszintes vetületét és meghatározzuk a láthatóságot.
3.37. ábra 3.38
A vízszintesen vetülő a sík metszi az ABC háromszög síkját (3.3. ábra 8) Ezen síkok metszésvonalának vízszintes vetülete egy M "N" szakasz, amelyet a tengely nyomvonalán határozunk meg.
E 
Ha a síkokat nyomvonalak határozzák meg a vetületi síkon, akkor a síkok metszésvonalát meghatározó áramokat) ugyanazon síknyomok metszéspontjaiban kell kiválasztani.(3.39. ábra); az ezeken a mindkét síkban közös pontokon áthaladó egyenes az metszésvonaluk. Ezért a és síkok metszésvonalának vetületeinek megalkotásához szükséges:
1) keresse meg az M" pontot az н" és н" nyomok metszéspontjában, valamint az N" pontot a és metszéspontjában, és ezek mentén az M" és N" vetületeket.
2) húzz egyenes vonalakat MN és M"N".
Azonos nevű síknyomok metszéspontjai aze síkok metszésvonalának nyomai.
R 
van.3.40
A 3.40. ábrán és síkok metszik egymást. A sík egy általános sík, a sík egy vízszintes sík. A metszésvonal megépítéséhez a következőket kell tennie:
1) keresse meg az N" pontot a és v nyomok metszéspontjában;
2) húzzon egy egyenest ezen a ponton a pozíció alapján
repülőgépek és nyomaik.
A (3.40 - 3.42) ábrákon olyan esetek láthatók, amikor a metszésvonal iránya ismert. Ezért elég, ha csak egy pont van a nyomvonalak metszéspontjából, majd ezen a ponton keresztül húzunk egy egyenest a síkok és nyomvonalaik helyzete alapján.
3.7.Egyenes metszéspontja általános síkkal
Az egyenes és az általános sík metszéspontjának megalkotása a következő algoritmussal történik:
1) húzzunk egy segédsíkot () ezen az egyenesen (MN) keresztül;
2) szerkeszteni egy egyenest (ED), ennek a síknak a metszésvonalát (ABC) és a segédsíkot ();
3) határozza meg ezen egyenes (MN) és a megszerkesztett metszésvonal (ED) metszéspontjának (K) helyzetét;
4) határozza meg az egyenes (MN) láthatóságát a H és V síkhoz képest.
A 3.43. ábrán az MN egyenes metszi az ABC háromszög által meghatározott síkot. Az MN egyenesen keresztül rajzolunk
becenév ABC. Az MN egyenesen keresztül rajzolunk
G 
vízszintesen vetülő sík . Mivel a segédsík vízszintesen vetül, ezért a sík és az ABC háromszög vízszintes vetülete az E "D" egyenes. Frontális vetületének megtalálása E"D". Ezután megszerkesztjük K", amelyben E"
D"
metszi az M"N" szakaszt, és meghatározzuk annak vízszintes vetületét K". Meghatározzuk az MK és a szakaszok láthatóságát
K 
N versengő pontok felhasználásával
3.44 ábra 3.45 3.46
A 3.44. ábrán az AB egyenes általános helyzetben metszi az a síkot. Rajzolunk egy vízszintes vetítési síkot az AB egyenesen keresztül, és megkeressük az a sík és a (MN) sík metszésvonalát.
Meghatározzuk a K" pontot, mint M"N" és A"B metszéspontját. Megtaláljuk a K" pontot és meghatározzuk a láthatóságot.
ábrán. 3.45 a síkot nyomok határozzák meg. A síkot metsző egyenes az vízszintes, Az AB egyenesen keresztül egy (||Н) vízszintes síkot rajzolunk. A p sík metszi az a síkot vízszintesenN.K., a géphez tartozó Ezután meghatározzuk a láthatóságot. ábrán. 3,46 a síkot nyomokkal adjuk meg; az a síkot metsző AB egyenes vízszintesen vetül, a H síkra egy pontra vetül, ezért az AB egyenes és a (K) sík metszéspontjának vízszintes vetülete a pontban van. ez a pont.
A"=B=K", A K pozíciót a vízszintes segítségével határozzuk meg.
3.8. Két általános sík metszéspontja
Tekintsük két sík metszésvonalának felépítésének általános esetét (3.47. ábra).
Az egyik metsző síkot () két egymást metsző egyenes (AB BC) határozza meg. A második síkot () két párhuzamos egyenes (DE FG) határozza meg. A és síkok kölcsönös metszéspontja eredményeként a K 1 K 2 (== K 1 K 2) egyenest kapjuk. A K 1 és K 2 pontok helyzetének meghatározásához két 1 és 2 segédsíkot veszünk, amelyek a és a síkot metszik. Amikor az 1 sík metszi a síkot, egy egyenes jön létre az 1"2" és az 12 vetületekkel. Ha az 1. sík metszi a síkot, egy egyenes jön létre a 3"4" és 3"4" vetületekkel. A 12 és 34 egyenesek metszéspontja határozza meg a és síkok első K 1 metszésvonalát.
Az elülső vetítési sík bevezetésével 2 , metszéspontjában a és síkkal egyenes vonalakat kapunk 5 "b", 5 "b" és 7 "8", 7 "8" vetületekkel. Ezek az egyenesek a 2 síkban helyezkednek el , V
metszéspontjukban meghatározzák a és metszésvonal második K 2 pontját. Miután megkaptuk a K 1 " és K 2" vetületeket, a 1 v" és 2 v" nyomokon megtaláljuk a K 1 " és K 2" vetületeket. A K 1 "K 2 és K 1 "K 2 " vetületek a és síkok kívánt metszésvonalának vetületei.
3.9. Két sík metszésvonalának szerkesztése az egyenesek és a sík metszéspontjainak felhasználásával
Ez a módszer abból áll, hogy megtaláljuk az egyik síkhoz tartozó két egyenes metszéspontját egy másik síkkal. Ezért szükséges, hogy egy egyenes metszéspontját meg lehessen alkotni egy általános síkkal (3.43. ábra).
N 
és ábra. A 3.48 két háromszög metszésvonalának felépítését mutatja ABCés DEF. A K 1 K 2 egyenest az ABC háromszög AC és BC oldalainak a DEF háromszög síkjával való metszéspontjaiban szerkesztjük.. Az AC-n keresztül húzott 1 segédhomlokzati vetítősík metszi a DEF háromszöget egy egyenes mentén vetületekkel 1."2"
és 1"2"; az A "C" és 1 "2" vetületek metszéspontjában megkapjuk a K 1 pont vízszintes vetületét - metszéspont
egyenes AC és háromszög DEF. Ezután megépítjük a K 1 frontális vetületet //
A BC-n keresztül húzott 2 segédfrontális vetületi sík egyenes vonalban metszi a DEF háromszöget a 3"4" és a 3"4 vetületekkel". A 3"4" és BC" vetületek metszéspontjában vízszintes vetületet kapunk pont K 2 - a BC egyenes és a DEF háromszög metszéspontja. Ezután elkészítjük a K2 pont frontális vetületét. A láthatóságot a rajzon a versengő pontok módszere határozza meg (lásd: 3.36. ábra),
4. RAJZ KONVERTÁLÁSÁNAK MÓDSZEREI
Az egyenesek és síkidomok meghatározott helyzetekben a vetítési síkhoz viszonyított megadása nagymértékben leegyszerűsíti a felépítést és a feladatok megoldását, lehetővé téve, hogy akár közvetlenül egy adott rajzból, akár egyszerű konstrukciók segítségével kapjon választ. Az egyenesek, lapos ábrák és vetületi síkok ilyen sajátos kölcsönös elrendezése a rajz átalakításával biztosítható. Ez megvalósul:
1) további vetítési síkok bevezetésével, hogy egy egyenes vagy lapos alakzat térbeli helyzetének megváltoztatása nélkül valamilyen meghatározott helyzetben találja magát az új vetületi síkrendszerben (a vetítési síkok megváltoztatásának módszere).
2) egy egyenes vagy egy lapos alak helyzetének megváltoztatása egy bizonyos tengely körüli elforgatással úgy, hogy az egyenes vagy ábra egy meghatározott helyzetben legyen a vetítési síkok változatlan rendszeréhez képest (az elforgatás módja és egy speciális esete az igazítás módja).
3) egy egyenes vagy egy lapos alak helyzetének megváltoztatása egy adott pozícióba való mozgatással úgy, hogy pontjaik mozgási pályái párhuzamos síkokban legyenek állandó vetületi síkrendszerrel (párhuzamos mozgás módszere).
4.1 A vetítési síkok megváltoztatásának módja
A vetületi síkok megváltoztatásának módszerének lényege, hogy a pontok, egyenesek, sík alakok, felületek helye a térben változatlan marad, és a H, V rendszer kiegészül H-val vagy V-vel, esetleg egymás között kialakuló síkokkal, két egymásra merőleges sík rendszerei a vetítési síkon túlra,
Minden új rendszert úgy választanak ki, hogy a kívánt konstrukció megvalósításához a legelőnyösebb pozíciót kapják.
4.1.1. Egy további vetületi sík H, V rendszerének bemutatása
A legtöbb esetben egy további sík a rendszerben , V egy bizonyos feltétel szerint kerül bevezetésre, amely megfelel az építkezés céljának. Példa erre a V 1 sík a 4.1. ábrán.
T 
Mivel meg kellett határozni az AB szakasz méretét, valamint az AB és a H sík közötti szöget, ezért a Vi sík a H síkra merőlegesen helyezkedik el (a H, V 1 rendszer kialakult) és párhuzamos az AB-vel.
VAL VEL 
Ezért a H, V 1 rendszerben az AB szakasz a frontális (A "B" || tengely X 1), és az A 1 "B 1" érték egyenlő az AB szakasz természetes értékével, a szöggel. 1 egyenlő a ka AB dőlésszöggel a H síkkal.
4.2. ábra 4.3
A 4.2. ábrán a H 1 sík megválasztása is a célnak van alárendelve: a CD egyenes és a V sík közötti szög, valamint a CD szakasz természetes méretének meghatározása. Ezért a H 1 síkot merőlegesen V-re, ugyanakkor párhuzamosan a CD szakaszra (H 1 /V || C "D" tengely) választjuk. Ezért a V, H 1 rendszerben a CD szakasz vízszintes
(C"D" tengely V/H 1), a C 1 "D 1" értéke megegyezik a természetes értékkel
CD szegmens, és a φ 2 szög egyenlő a CD szegmens V síkhoz képesti dőlésszögével.
ábrán látható esetben. 4.3, a H 1 sík kiválasztása teljes mértékben a feladattól függ.
Meg kell határozni az ABC háromszög természetes megjelenését. Mivel ebben az esetben a háromszög által meghatározott sík merőleges a síkra V, akkor annak torzításmentes ábrázolásához a H 1, V rendszerbe egy további síkot kell bevinni, amely két feltételnek megfelel: H 1, V (a V, H 1 rendszer kialakításához) és H 1 || ABC (H 1 || ABC"), amely lehetővé teszi az ABC háromszög Hi síkon való torzítás nélküli ábrázolását. Új V/H tengely 1 || A"B"C". Ahhoz, hogy az A" 1 B 1 "C" 1 vetületet az új tengelyről megszerkeszthessük, az A, B, C" pontok V/H tengelytől mért távolságával megegyező szakaszokat rakunk le. A természetes Az ABC háromszög megjelenését az A" 1 B" 1 C" 1 új vetülete fejezi ki.
Egy további vetítési sík bevezetése lehetővé teszi a rajz olyan átalakítását, hogy az adott általános helyzetsík legyen V H, V rendszer merőlegessé válik a további vetítési síkra.
4.4. ábra 4.5
A 4.4. ábrán a H, V rendszerben az ABC háromszög által meghatározott általános helyzetsík merőleges lesz a további V 1 vetítési síkra. Ehhez az ABC háromszögben egy AD vízszintes egyenest húzunk, amely az AD-re merőleges sík merőleges az ABC-re és egyúttal a H síkra is (ADH óta). Ez a V 1 síknak felel meg, és az ABC háromszöget rávetítjük a B" 1 C" 1 szakaszba. Az f 1 szög az ABC háromszög H síkhoz képesti dőlésszögének felel meg.
E 
Ha vesszük a V síkra merőleges H 1 síkot (4.5. ábra) és az ABC háromszög által meghatározott síkot (amelyhez az ABC háromszög elejére merőleges V/H 1 tengelyt kell megrajzolni), akkor meghatározzuk a φ 2 szöget - az ABC háromszög síkjának V síkhoz való dőlését.
4.1.2.A rendszer bemutatásaH. Vkét további vetítési sík
Tekintsük a következő példát (4.b, 4.7 ábra): a H rendszerben meghatározott egyenes AB általános helyzetben , A V-t a kiegészítő vetítési síkra merőlegesen kell elhelyezni.
Ebben az esetben a következő sémát követjük:
1) a H,V rendszerből a H, V 1 rendszerbe lépünk, amelyben a V 1 H és V 1 || AB,
2) a H,V 1 rendszerből a V 1 H 1 rendszerbe lépünk, ahol H 1 V 1 és H 1 AB. A megoldás az A 1 és A 1 "pontok egymás utáni felépítésében rejlik. A, B 1 és B 1 "pont B.
A H,V rendszerben általános helyzetű AB egyenes párhuzamossá válik a H, V 1 rendszerben a V 1 síkkal, és a V 1, H 1 rendszerben a H 1 síkon lévő pontra vetül, azaz. AB H 1 ,
A 4.8. ábra példát mutat az ABC természetes típusú háromszög megszerkesztésére.
A probléma megoldása a következő séma szerint történik:
1) a H,V rendszerből a H,V 1 rendszerbe lépünk, amelyben V 1 H és V 1 AD (AD az ABC háromszög vízszintese), V 1 ABC .
2) a H, V 1 rendszerből a Vi, Hi rendszerbe lépünk, amelyben H 1 1 V 1 és H 1 || ABC,
A feladat első részében a V 1 kiegészítő sík merőleges az ABC háromszög síkjára . Ez a konstrukció megismétli a 4.4. ábrán láthatót.
A második részben a 4.8. ábra szerinti konstrukciót a V 1 /H 1 C" 1 "A 1 "B 1" tengely megrajzolására redukáljuk, azaz. A H 1 síkot párhuzamosan húzzuk az ABC síkkal, ami a C" 1 "A 1 "B 1" vetület által kifejezett természetes nézet meghatározásához vezet.
4.2. A vetítési síkra merőleges tengely körüli forgatás módszere
Ha valamilyen rögzített i egyenes (forgástengely) körül forogunk, az elforgatott ábra minden pontja a forgástengelyre (forgási sík) merőleges síkban mozog. Ebben az esetben a pont egy kör mentén mozog, amelynek középpontja a tengely és a forgási sík metszéspontjában van (ármr forgás). A kör sugara megegyezik az elforgatott pont és a középpont távolságával (ez a forgási sugár). Ha egy adott rendszer bármely pontja az i forgástengelyen helyezkedik el, akkor a rendszer forgása során ezt a pontot állónak tekintjük. A forgástengely megadható és kiválasztható. Ha a forgástengelyt választjuk, akkor célszerű az egyik vetületi síkra merőlegesen elhelyezni, mert ez leegyszerűsíti a konstrukciót.
4.2.1. Forgás adott tengely körül
4.9. ábra 4.10
Az A pont forogjon az i tengely körül, merőlegesen a H síkra (4.9. ábra). Forgatás közben az A pont egy R sugarú kört ír le, amelynek síkja a síkban van, és merőleges a V síkra, tehát párhuzamos a H síkkal. Az R sugár értékét a kör hosszával fejezzük ki. az A pontból a forgástengelyre húzott merőleges. Az A pont által a térben leírt kört torzítás nélkül vetítjük a H síkra. Mivel az a sík merőleges V-re, ezért a kör V síkra vonatkozó pontjainak vetületei a v"-on, azaz a körre merőleges egyenesen helyezkednek el. frontális vetítés
forgástengely. 4.9 ábra jobb oldalon: az A pont által leírt kör az i tengely körüli elforgatásakor torzítás nélkül vetül a H síkra. Az O középpontjából R=OA sugarú kör rajzolódik ki. A V síkon ezt a kört 2R-rel egyenlő szakasz formájában vetítjük,
A 4.10. ábra mutatja az A pont forgását az i tengely körül, merőlegesen az V síkra. Az A pont által leírt kört torzítás nélkül vetítjük az V síkra. Az O pontból egy R==OA sugarú kört rajzolunk. " A H síkon ezt a kört egy 2R-rel egyenlő szakasz ábrázolja.
Ebből az következik, hogy amikor egy pont a vetítési síkok bármelyikére merőleges tengely körül forog, akkor az elforgatott pont egyik vetülete a forgástengely vetületére merőleges egyenes mentén mozog.
4.2.2.Forgatás a kiválasztott tengely körül
Egyes esetekben a forgástengely kiválasztható. Sőt, ha a forgástengelyt úgy választjuk meg, hogy a szegmens valamelyik végén áthaladjon, akkor a konstrukció leegyszerűsödik, mivel az a pont, amelyen a tengely áthalad, stacioner lesz, és a szegmens elforgatásához újat kell készíteni. helyzete a vetítés csak egy pont - a másik végén a szegmens.
4.11. ábra 4.12
ábrán. 4.11 Meg kell határozni az AB szakasz természetes méretét és dőlésszögét a H síkkal szemben. Az i forgástengelyt a H síkra merőlegesen választjuk, és áthalad az A ponton. Az AB szakasz elforgatása az i tengely körül mozgassa a pozícióba
párhuzamos az V síkkal (azaz AB frontálissá válik). Az A B érték megegyezik az AB szakasz természetes értékével, az A // B // B // szög pedig egyenlő az AB szakasz H síkhoz képesti dőlésszögével.
Hasonló módon határozzuk meg a CD szegmens természetes méretét és a V síkhoz viszonyított dőlésszögét (89. ábra). Az i forgástengelyt a V síkra merőlegesen választjuk, és áthalad a C ponton. A CD szakaszt az i tengely körül elforgatva a H síkkal párhuzamos helyzetbe hozzuk (azaz a CD vízszintessé válik). A C D érték megegyezik a CD szegmens természetes méretével, a C / D szög pedig egyenlő a CD szegmens V síkhoz képesti dőlésszögével.
A 4.13. ábrán meg kell határozni az ABC háromszög természetes megjelenését és dőlésszögét a H síkhoz képest. Mivel az ABC háromszög síkja egy általános sík, ezt a feladatot a séma szerint oldjuk meg:
1 Forgatás az i tengely körül, merőleges a H síkra és áthalad a C ponton , átvisszük az ABC háromszöget az általános helyzetből a frontálisan vetülő sík helyzetébe.
2. A V síkra merőleges i 1 tengely körüli forgatással és az A ponton áthaladva átvisszük az ABC háromszöget a frontálisan kiálló sík helyzetéből a H síkkal párhuzamos sík helyzetébe.
Ahhoz, hogy az ABC háromszöget a frontális vetületi sík helyzetébe vigyük át, az ABC háromszög síkjába az SC sík vízszintes síkját rajzoljuk, melynek C // K // frontális vetülete párhuzamos az X tengellyel. A C / K / vízszintes vetület megegyezik az SC szegmens természetes méretével. Kiválasztjuk a H-re merőleges i forgástengelyt, és átrajzoljuk a C ponton. Az ABC sík akkor lesz a frontális vetítési sík helyzete, ha egy adott háromszög (TC) vízszintese merőleges a V síkra, és ezért az SC szakasz merőleges lesz az X tengelyre, és a C // K // frontális vetület egy pontra vetül. Az i / С / középpontból C / K / sugárral ívet rajzolunk és új vetületet építünk K.T.k. Ha bármely pont a vetítési síkra merőleges tengely körül forog, akkor a pont pályája a forgástengelyre merőleges síkban helyezkedik el, akkor a K vetület a K // K // egyenesen párhuzamosan helyezkedik el. az X tengely.
A serif módszerrel B/-t és A/-t találunk. A B"" elülső vetület a B // B // egyenesen fekszik, és párhuzamos a tengellyel X, az A / frontális vetület az X tengellyel párhuzamos A / A / egyenesen fekszik, ennek az elforgatásnak köszönhetően az ABC sík frontálisan vetül, és a szög (p egyenlő az ABC sík dőlésszögével a H síkra.
Kiválasztjuk a V-re merőleges i 1 forgástengelyt, és átrajzoljuk az A ponton. A K és C pontokat A K sugárral, a B pontot A B sugárral addig forgatjuk, amíg az ABC sík a H síkkal párhuzamos helyzetbe kerül, és így az A szakasz. 1 / / K 1 // B 1 // párhuzamosan az OX tengellyel. Mert a C, B és K pontok mozgási pályáit a H c vízszintes síkra párhuzamos egyenesekbe vetítettük
C / a C / C / egyenesen fekszik,
B / 1 a B / B / 1 egyenesen fekszik,
K/1 a K/K/1 egyenesen fekszik.
Az A / B / C / vetület határozza meg az ABC háromszög természetes megjelenését.
előadásAz Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma
Szövetségi Állami Költségvetési Oktatási Intézmény
felsőfokú szakmai végzettség
"UFA ÁLLAMI OLAJ
TECHNIKAI EGYETEM"
Műszaki Mechanikai Tanszék
METSZÉSZVONAL ÉPÍTÉSE
FELÜLETEK
Oktatási és módszertani útmutató a házi feladat megoldásához 3. sz
minden szakos bachelor számára
Sterlitamak 2011
A módszertani utasításokkal való munka előtt a bachelor köteles tanulmányozni az anyagot az ajánlott irodalom szerint
Összeállította: Valitova E.G. vezető tanár
Lektor Ivanov S.P., egyetemi docens, a tudományok kandidátusa tech. tudományok
© Ufa Állami Kőolajipari Műszaki Egyetem, 2011
Az irányelvek minden szakos bachelor számára készültek, amikor a „Felületek kölcsönös metszéspontja” témát tanulmányozzák, és házi feladatokat készítenek ebben a témában.
A módszertani utasításokkal való munka előtt a bachelor köteles tanulmányozni az ajánlott irodalomban található anyagot.
1.1 A feladat célja a felületek metszésvonalának felépítésének tanulmányozása.
a) megszerkeszteni adott felületek metszésvonalainak vetületeit a közbenső síkok módszerével (A3 formátum);
b) felületek metszésvonalainak vetületeit gömb alakú közvetítők módszerével (A3 formátum) megszerkeszteni;
c) jelölje be a metszésvonalak jellemző pontjait.
Az egyes feladatokra vonatkozó lehetőségeket a melléklet tartalmazza.
2 A FELADAT VÉGREHAJTÁSÁNAK MÓDJA ÉS ELJÁRÁSA
2.1 A formátum jelölése (elrendezése), biztosítva a rajzmező ésszerű használatát.
2.2 Rajzolja meg ceruzával vékony vonalakban a feladat kiindulási adatait, a segédépítési vonalakat és a talált felületek metszésvonalát!
2.3 Töltse ki a fő feliratot (a tartalom és a méretek az 1. ábrán láthatók)
Rizs. 1. Címblokk
2.4 A finom vonalakkal végzett munkát a tanárnak kell ellenőrzésre leadni.
2.5 Az ellenőrzés után vázolja fel a rajzot a következő követelmények alapján:
2.5.1 Ezek az elemek fekete ceruzával, tintával vagy pasztával készülnek, tömör fővonallal (S1 mm).
2.5.2 A vetítési csatlakozási vonalak és a vetületi tengelyek feketével, vékony vonallal, ceruzával, tintával vagy pasztával (S0,5 mm) vannak megrajzolva.
2.5.3 A segédszerkezetek vonalai zöld vagy kék színben készülnek, vékony vonallal (S0,5 mm) szintén ceruzával, tintával vagy pasztával.
2.5.4 A szükséges elemeket tömör piros fővonallal készítjük (ceruza, tinta, paszta, filctoll, S1 mm), Svonalvastagsággal.
2.6 Adja be munkáját védelemre. A munka megvédését a tanár aláírásával az „Elfogadva” rovatban rögzítik, és hozzá tartozó pontszámot, tört alakban adnak meg: a számláló a téma mélységére adott pontszám, a nevező: a rajz grafikai kivitelezésének minőségi pontszáma.
3 ÁLTALÁNOS INFORMÁCIÓK
A felületek metszésvonala egy görbe, amely mindkét felülethez tartozó pontokból áll. Általában ez egy térbeli görbe, amely két vagy több részre osztható. Ezek a részek különösen lapos ívek lehetnek. Általában a metszésvonalat az egyes pontjaiból építik fel.
E pontok megalkotásának általános módja a közbenső felületek módszere. Ezeket a felületeket valamilyen segédfelülettel metszve, és ennek a felületekkel való metszésvonalait meghatározva ezen egyenesek metszéspontjában a kívánt metszésvonalhoz tartozó pontokat kapunk.
Leggyakrabban síkokat vagy gömböket használnak közbenső felületekként, amelyektől függően a következő módszereket különböztetjük meg a pontok felépítésére két felület metszésvonalán:
a) a segédsíkok módszere;
b) a segédszférák módszere.
A felületek metszésvonalának kialakítására szolgáló egyik vagy másik módszer alkalmazása a felületek típusától és egymáshoz viszonyított helyzetétől egyaránt függ.
4 SEGÉDSÍK MÓDSZERE
MAGÁNÁLLAPOT
A felületi metszésvonal pontjainak megtalálásakor egy bizonyos sorrendet kell követni. A metszésvonalon referenciapontok (karakterisztikus) és köztes (véletlenszerű) vannak. Mindenekelőtt a referenciapontokat határozzák meg, mert lehetővé teszik, hogy megnézze, milyen határokon belül helyezkednek el a metszésvonal vetületei, és hol szükséges a kiegészítő közbenső felületek helyzetét megváltoztatni.
A referenciapontok közé tartoznak a felületek körvonalain elhelyezkedő pontok, a legmagasabb és legalacsonyabb pontok, a megfigyelőhöz legközelebb eső és tőle legtávolabbi pontok, a bal és jobb szélső.
A segédsíkok módszerét akkor érdemes alkalmazni, ha mindkét egymást metsző felületet grafikusan egyszerű vonalak (körök vagy egyenesek) mentén lehet metszeni bizonyos vetítősíkok halmazával (illetve adott esetben szintsíkok halmazával).
ábrán. 2 vízszintesen kiálló henger forgáskúp metszésvonalának felépítését mutatja be. Az 1. és 2. referenciapontot mindkét felület fő meridiánjainak a szimmetriasíkban elhelyezkedő metszéspontjában határozzuk meg. Véletlenszerű 3. pont, A 3 1 4, 4 1 a két felületet körben metsző S 1 és S 2 vízszintes síkok segítségével található. A metszésvonal frontális vetülete a vetületi kommunikáció törvényei szerint épül fel.
ábrán. A 3. ábra a forgáskúp és a gömb metszésvonalát ábrázolja. Az 1. és 2. metszésvonal referenciapontjait azonnal meghatározzuk, mint az előző esetben is, a körvonalgeneratricák (főmeridiánok) metszéspontjában. Az 5, 5 1 véletlenszerű pontokat az S 3 szint vízszintes síkjával találjuk meg. Láthatósági pontok 4 a 4 1 pedig a gömböt az egyenlítőnél metsző S 1 síkot határozza meg. A 4. és 4. 1. pont a metszésvonal vízszintes vetületét látható és láthatatlan részekre osztja. A két bal szélső pont, 3 és 3 1 megszerkesztéséhez a kúp és a golyó tengelyeinek metszéspontjának 0 (0 / , 0) pontjából le kell engedni egy merőlegest a kúp generátorába, és meg kell rajzolni egy síkot. S 2 a K / ponton keresztül.
A megfelelő körök metszéspontjában megkapjuk a 3 és 3 1 pontokat - a bal szélsőket. Segédsíkok sorozatának megrajzolásával tetszőleges számú véletlenszerű pontot kaphatunk, amelyek tisztázzák a metszésvonal alakját.
Rizs. 2. Henger és kúp metszésvonalának megalkotása
Rizs. 3. A kúp és a gömb metszésvonalának felépítése
5 SZférikus KÖZVETÍTŐK MÓDSZERE
A gömb alakú mediátorok széles körben alkalmazhatók a felületek kölcsönös metszéspontjával kapcsolatos problémák megoldásában. Ez annak köszönhető, hogy:
a) egy gömb vetületei rendkívül egyszerűen megszerkeszthetők;
b) egy gömbön végtelen számú körcsaládot lehet felvenni;
c) a gömb középpontján átmenő bármely sík szimmetriasíkja,
A gömbi közvetítők módszere a következő tételen alapul: „Két koaxiális forgásfelület metszi egymást olyan körök mentén, amelyek száma megegyezik fő meridiánjaik metszéspontjainak számával.” Legyen adott két koaxiális forgásfelület Fés ψ ábra, 4), fő meridiánjaik A / És b / . E meridiánok közös pontjai 2. és 1 forgatáskor olyan köröket alkotnak, amelyek közösek ezeken a felületeken. Ezeket a köröket a vetületek elülső síkjára vetítik egyenes vonalak formájában, merőlegesek a forgástengelyre, és a vízszintes síkra - teljes méretben. Bármely más övszakasz, például az S sík mentén, két különböző átmérőjű kört ad.
A gömb alakú közvetítők módszerében a gömböket az egyik koaxiális felületnek, és bármely forgásfelületet másodiknak, például kúpot, hengert, golyót, ellipszoidot és forgási hiperboloidot stb.
Rizs. 4. Koaxiális felületek
Ebben az esetben a megadott tétel a következő megfogalmazást kapja: „Ha a szekáns gömb középpontja a forgásfelület tengelyén van, akkor a gömb ezt a felületet körben metszi” (5. ábra).
Rizs. 5. A forgásfelületekkel koaxiális gömb
A gömb minden esetben azonos vagy eltérő átmérőjű körök mentén metszi a forgásfelületet, amelyek a forgásfelület tengelyére merőleges egyenesekbe vannak vetítve. A gömb alakú közvetítők módszerének két változata van:
a) a koncentrikus gömbök módszere, amikor a közbenső gömbök ugyanabból a középpontból épülnek fel;
b) az excentrikus gömbök módszere, amikor a közvetítők különböző központokból épülnek fel.
A problémák első megoldásához a következő feltételek szükségesek:
l) mindkét meghatározott felületnek forgásfelületnek kell lennie;
2) mindkét felület tengelyének metszenie kell egymást, és közös szimmetriasíkban kell lennie.
A problémák második módon történő megoldásához (excentrikus gömbök) a feltételek kissé eltérőek, nevezetesen:
1) az egyik metsző felületnek forgásfelületnek kell lennie, a másodiknak pedig körszelvények családját kell hordoznia;
2) mindkét felületnek közös szimmetriasíkkal kell rendelkeznie, amelyre körmetszeteket vetítenek egyenes vonalak formájában.
A 6. ábra két forgásfelület (kúp és henger) metszésvonalának meghatározását mutatja be koncentrikus gömbök módszerével. A probléma megoldásának terve a következő:
1) vegyük középpontnak a felületi tengelyek 0 (0 / , 0) metszéspontját, rajzoljunk kisegítő közbenső gömböket;
2) határozza meg a közbenső gömbök metszésköreit az egyes felületekkel külön-külön;
3) keresse meg a kapott körök metszéspontjait, ezek a pontok a felületek kívánt metszésvonalához tartoznak.
Az építés a referenciapontok meghatározásával kezdődik - az 1. és 2. körvonalgenerátor metszéspontja. Ezt követően meghatározzuk a legnagyobb és legkisebb közvetítő gömb sugarának értékét; R max egyenlő a 0 középpont és a körvonalgenerátorok legtávolabbi metszéspontja közötti távolsággal A legkisebb közbenső gömb sugarának meghatározásához R min. a középpontból 0 / a 0 / K / és 0 / T / normálok mindkét felület körvonalgenerátoraira süllyednek. A normálok közül a legnagyobb értéke a legkisebb közvetítő gömb sugara. Ez a legkisebb segédgömb egy másik referenciapontot ad - az 5-ös pontot, amely a szélsőséges elhajlás pontja, az ívelt metszésvonal teteje. A fennmaradó pontokat közbülső gömbökkel alkotjuk meg, amelyek sugarát R min belül vesszük Rizs. 6. Metszésvonal építése a segítségével koncentrikus gömbök Rizs. 7. Metszésvonal építése a segítségével excentrikus gömbök A 7. ábrán egy kúp metszésvonala látható, amelynek tengelye merőleges a vízszintes síkra, és egy tórusz egynegyede, amelynek forgástengelye merőleges a vetületek homloksíkjára. A megoldáshoz az excentrikus gömbök-közvetítők módszerét alkalmaztuk. A probléma megoldása mindkét felület szintvonalainak metszéspontjainak meghatározásával kezdődik. Az 1, 2, 3 pontokat közvetlenül a frontális vetületi rajzból határozzuk meg, a felületek alapjainak metszéspontjának 4. pontja pedig a vízszintes vetületen található. A közbenső pontok megalkotásához a metszésvonalak a tórusz felületét a tórusz tengelyén átmenő síkokkal felbontják. A köröket keresztmetszetben kapjuk meg. Például az S 1 sík egy átmérőjű kör mentén metszi a tórusszt A/b/ .
Tól től
ennek a körnek a középpontja, a K / pontok visszaállítják a merőlegest a kúp tengelyével a 0 / 1 pontban lévő metszéspontra. Ezt a pontot középpontnak véve konstruáljon egy 0/1 sugarú segédgömb-közvetítőt A /
(0 / 1
b
/).
Ez a gömb a már ismert kör mentén metszi a tórusszt A/ b / , és a kúp a 8 / 9 / kör körül van. Kölcsönös metszéspontjuk adja a metszésvonal 5. pontját. Hasonlóképpen, az S 2 és S 3 síkok felhasználásával a 6. és 7. pont is megtalálható. Alkalmazás IRODALOM 1. Nartova L.G. Leíró geometria: Tankönyv. M.: Akadémia, 2011. 2. Gordon V.O. Ábrázoló geometria. – M.: Feljebb. iskola, 2002. 3. Gordon V.O. Feladatgyűjtemény a leíró geometria tanfolyamához. – M.: Feljebb. iskola, 2003. 4. Degtyarev V.M. Mérnöki és számítógépes grafika: Proc. M.: Akadémia, 2011. 5. Potyemkin A. Mérnöki grafika. M.: Feljebb. iskola, 2002. 2. A feladat elvégzésének módszertana és menete. . . . . . . 1 3. Általános információk. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4. Adott helyzetű segédsíkok módszere 3 5. A gömb alakú közvetítők módszere. . . . . . . . . . . 5 Irodalom. . . . . . . . . . . . . . . . . ... . 10 Alkalmazás. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Egyenes metszéspontjának megalkotása vetületi síkkal Egy pont második vetületének diagramon való megszerkesztéséhez vezet, mivel egy pont egyik vetülete mindig a vetületi sík nyomvonalán fekszik, mert minden, ami a vetületi síkban van, rávetül a sík egyik nyomvonalára. ábrán. 224, A egy egyenes metszéspontjának felépítését mutatja E.F. háromszög frontálisan vetülő síkjával ABC(a síkra merőlegesen V) A repülőre V háromszög ABC be van vetítve a szegmensbe a"c" egyenes és pont Nak nek" szintén ezen a vonalon fekszik, és a metszéspontban lesz e"f Val vel a"c". A vízszintes vetület egy vetületi csatlakozóvezeték segítségével készül. Egy egyenes láthatósága a háromszög síkjához képest ABC a háromszög vetületeinek egymáshoz viszonyított helyzete határozza meg ABCés egyenes E.F. a felszínen V. A látás iránya az ábrán. 224, A nyíl jelzi. Az egyenesnek az a szakasza lesz látható, amelynek frontális vetülete a háromszög vetülete felett van. A ponttól balra Nak nek" az egyenes vetülete a háromszög vetülete felett van, tehát a síkon N ez a terület látható. ábrán. 224, b egyenes E.F. metszi a vízszintes síkot R. Frontális vetítés Nak nek" pontokat NAK NEK- egy egyenes metszéspontjai E.F. P síkkal - az e vetület metszéspontjában lesz f"a repülőgép nyomával Pv, mivel a vízszintes sík egy frontálisan vetülő sík. Vízszintes vetítés k pontokat NAK NEK vetítési kommunikációs vonal segítségével találtuk meg. Két sík metszésvonalának megalkotása két közös pontot kell találni e két síkon. Egy metszésvonal megszerkesztéséhez ez is elég, hiszen a metszésvonal egy egyenes, az egyenest pedig két pont határozza meg. Amikor egy vetületi sík metszik egy általános síkot, a metszésvonal egyik vetülete egybeesik annak a síknak a nyomával, amely abban a vetítési síkban található, amelyre a vetületi sík merőleges. ábrán. 225, A frontális vetítés t"p" metszésvonalak MN megfelel a nyomnak Pv frontális vetítési sík R,ábrán pedig. 225, b vízszintes vetítés kl egybeesik a vízszintesen vetülő sík nyomával R. A metszésvonal egyéb vetületei vetületi összekötő vonalak segítségével készülnek. Egyenes metszéspontjának megalkotása általános síkkal(226. ábra, A) segédvetítési sík segítségével végezzük R, amelyet ezen az egyenesen keresztül húzunk E.F. Kereszteződésvonal építése 12
segédsík R. adott háromszögsíkkal ABC, repülni R két egyenes vonal: E.F.- adott egyenes és 12
- megépített metszésvonal, amely egy pontban metszi egymást K. Egy pont vetületeinek keresése NAK NEKábrán látható. 226, szül. Az építkezéseket a következő sorrendben hajtjuk végre. Közvetlen útján E.F. rajzoljunk egy segédvízszintes vetítési síkot R. A nyoma Rн egybeesik a vízszintes vetülettel ef egyenes E.F. Frontális vetület felépítése 1''2" metszésvonalak 12
repülőgép R adott háromszögsíkkal ABC vetítési kommunikációs vonalak felhasználásával, mivel a metszésvonal vízszintes vetülete ismert. Egybeesik a vízszintes nyomvonallal R H repülőgép R. Határozza meg a frontális vetületet! Nak nek" a kívánt pontot NAK NEK, amely ennek az egyenesnek a frontális vetületének a vetülettel való metszéspontjában található 1"2"
metszésvonalak. Egy pont vízszintes vetülete egy vetületi kapcsolatvonal segítségével készül. Egy egyenes láthatósága a háromszög síkjához képest ABC pontozás módszere határozza meg. Egy egyenes láthatóságának meghatározása a vetületek homloksíkján (226. ábra, b) hasonlítsa össze a koordinátákat Y pontokat 3
És 4,
amelynek frontális vetületei egybeesnek. Koordináta Y pontokat 3,
egyenes vonalon fekve nap, kevesebb koordináta Y pontokat 4,
egyenes vonalon fekve E.F. Ezért a lényeg 4
közelebb van a megfigyelőhöz (a látás irányát a nyíl jelzi) és az egyenes vetülete a síkon van ábrázolva V látható. Az egyenes a háromszög előtt halad el. A ponttól balra NAK NEK' az egyenest a háromszög síkja fedi ABC. A vízszintes vetítési síkon a láthatóságot a pontok Z koordinátáinak összehasonlításával mutatjuk be 1
És 5.
Mert Z 1 > Z 5, pont 1
látható. Ezért a ponttól jobbra 1
(lényegre törő NAK NEK) egyenes E.F. láthatatlan. Két általános sík metszésvonalának megszerkesztéséhez segédvágó síkokat használnak. Ez az ábrán látható. 227, a. Egy síkot háromszög határoz meg ABC, a másik - párhuzamos vonalak E.F.És MN. Megadott síkok (227. ábra, A) egy harmadik segédsík metszi. Az építés megkönnyítése érdekében a vízszintes vagy elülső síkokat segédsíknak kell venni. Ebben az esetben a segédsík R egy vízszintes sík. Adott síkokat egyenesen metszi 12
És 34,
amelyek a kereszteződésben pontot adnak NAK NEK, amely mindhárom síkhoz, tehát két adotthoz tartozik, vagyis az adott síkok metszésvonalán fekszik. A második pontot a második segédsík segítségével találjuk meg K. Két pontot találtunk NAK NEKÉs L határozza meg két sík metszésvonalát. ábrán. 227, b segédsík R a frontális nyom adta. A metszésvonalak frontális vetületei 1"2"
És 3"4"
repülőgép R adott síkokkal egybeesik a frontális nyomvonallal Rv repülőgép R, mivel a repülő R merőleges a síkra V,és minden, ami benne van (beleértve a metszésvonalakat is), rávetül a frontális nyomvonalára R v. Ezeknek az egyeneseknek a vízszintes vetületei az 1" pontok elülső vetületeiből húzott vetületi összekötő vonalak felhasználásával készültek. 2", 3", 4"
amíg nem metszik egymást a megfelelő egyenesek vízszintes vetületeivel az 1. pontban, 2, 3, 4.
A metszésvonalak megszerkesztett vízszintes vetületeit addig nyújtjuk, amíg a pontban nem metszik egymást k, amely a pont vízszintes vetülete K, amely két sík metszésvonalához tartozik. Ennek a pontnak a frontális vetülete van a nyomon R v. A térben két sík lehet párhuzamos vagy metsző; a metsző síkok speciális esete a kölcsönösen merőleges síkok. A síkok metszésvonalának megalkotása a leíró geometria egyik fő feladata, aminek nagy gyakorlati jelentősége van. Hozzátartozik az ún helyzeti feladatokat. Helyzeti különböző konjugált geometriai alakzatok közös elemeinek meghatározására szolgáló feladatoknak nevezzük. Ezek közé tartoznak a feladatok az összetartozásért geometriai elemek és a kereszteződésben geometriai objektumok, például egy egyenes és egy sík metszéspontja egy felülettel, két felület metszéspontja és különösen két sík metszéspontja. Két sík metszésvonala egy olyan egyenes, amely egyszerre tartozik mindkét metsző síkhoz. Ezért a síkok metszésvonalának megalkotásához meg kell határozni ennek az egyenesnek két pontját, vagy egy pontot és a metszésvonal irányát. Mérlegeljük különleges eset síkok metszéspontja, amikor az egyik kinyúlik. ábrán. A 3.6 általános helyzetben egy síkot mutat, amelyet az ABC háromszög és a vízszintesen vetülő P határoz meg. Mindkét síkhoz tartozó két közös pont a D és E pont, amelyek meghatározzák a metszésvonalat. Ezen pontok meghatározásához megtaláltuk az AB és BC oldalak metszéspontjait a vetületi síkkal. A D és E pontok megalkotása mind a térrajzon (3.6. ábra, a), mind a diagramon (3.6. ábra, b) nem okoz nehézséget, mert a síkok nyomainak fentebb tárgyalt kollektív tulajdonsága alapján. A D és E pontok azonos vetületeinek összekapcsolásával megkapjuk az ABC háromszög síkja és a P sík metszésvonalának vetületeit. Így az adott síkok metszésvonalának D 1 E 1 vízszintes vetülete egybeesik a P vetületi sík vízszintes vetületével - annak vízszintes nyomvonalával. Mérlegeljük általános eset metszéspont, amikor mindkét sík általános helyzetben van. ábrán. 3.7. két általános síkot mutat, amelyeket egy háromszög és két párhuzamos egyenes határoz meg. A síkok metszésvonalának két közös pontjának meghatározásához két R és T segéd (vízszintes) szintsíkot rajzolunk. Az R segédsík két h és h 1 vízszintes mentén metszi az adott síkot, amelyek metszéspontjában az 1. pontot határozzák meg. közös a P és Q síkkal, tehát hogyan tartoznak egyidejűleg az R segédvágó síkhoz . A vízszintes egyenesek metszéspontjában megkapjuk 2 adott sík második közös pontját. Ezen azonos nevű pontok vetületeit a diagramon összekapcsolva (3.8,b ábra), megkapjuk a síkok metszésvonalának vetületeit. ábrán. A 3.8. ábra két nyomvonallal meghatározott síkot mutat. A síkok közös pontjai ugyanazon nyomok M és N metszéspontjai. Ezen azonos nevű pontok vetületeit egyenes vonallal összekötve megkaptam a síkok metszésvonalának vetületeit. Ha ugyanazon nyomok metszéspontjai a rajzmezőn kívül vannak (lásd az 5. példát), valamint olyan esetekben, amikor a síkokat nem nyomok, hanem más geometriai elemek határozzák meg, akkor a síkok metszésvonalának meghatározásához használnia kell segédszintsíkok– vízszintes vagy frontális. Megjegyzendő, hogy a nyomvonalak által meghatározott síkok metszésvonalának megalkotásakor a segédvágósíkok szerepét a P 1 és P 2 vetületi síkok játsszák. ábrán. A 3.9. ábra két sík metszéspontjának esetét mutatja, amikor a metszésvonal iránya ismert, mert P sík a szintsík (P||P 1). Ezért elég, ha a nyomoknak csak egy metszéspontja van, majd ezen a ponton keresztül egyenes vonalat húzunk a síkok és nyomaik helyzete alapján. Esetünkben a metszésvonal a P és T sík közös vízszintes NA-ja.
