Что такое геометрическая вероятность. Геометрическое определение вероятности события. Классическое определение вероятности

Введение

В конце июля, августе и начале сентября 2010 года в России возникла сложная пожарная обстановка из-за ряда пожаров, сопровождавшихся смогом и задымлением городов, а также жертвами и многочисленными убытками. Так, по состоянию на 7 августа 2010 была зафиксирована гибель 53 человек, уничтожено более 1200 домов. Площадь пожаров составила более чем 500 тысяч гектаров. На борьбу с огнём были брошены все силы, и, конечно, воздушная техника, позволявшая тушить участки, доступ к которым по земле был затруднён или невозможен. Меня заинтересовал один вопрос: какова вероятность того, что водный «снаряд» попадет в назначенное место во время того, как самолет движется на огромной скорости, а леса и поля мелькают внизу, подобно брызгам с кисти неосторожного художника? Или же здесь можно полагаться лишь на интуицию и на опытность пилота?

Оказалось, что существует целая наука, занимающаяся нахождением вероятности происхождения того или иного события. Причем один из её разделов посвящен геометрической вероятности. Я решила глубже изучить его для ответа на свой вопрос.

Проблема: возможно ли применение геометрической вероятности для решения практических задач?

Цель работы: исследование раздела математики «геометрическая вероятность» и применение полученных знаний для решения поставленной проблемы.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения теории вероятности как науки и, в частности, её раздела о геометрической вероятности;

Изучить теорию по данной теме;

Рассмотреть типовые задачи и основные способы их решений;

Применить полученные знания на практике.

Методы решения:

Изучение литературы по данной теме;

Анализ материала;

Выбор задач различных типов и уровней сложности;

Ознакомление с методами решения задач на нахождение геометрической вероятности;

Применение навыков для решения практических задач;

Синтез полученных данных.

Основная часть

1.Сведения из истории

Люди еще в 17 веке пытались найти закономерность или определить количество благоприятных исходов для того или иного события. После первых работ итальянских ученых Дж. Кардано, Н. Тарталья, относящихся к 16 веку, такие задачи изучали французские математики Б.Паскаль и П.Ферма. Опыты проводились на игральных костях и были рассчитаны на прогнозирование выигрыша. Из автобиографии Кардано известно, что одно время он был страстным игроком. Вместе с Тартальей они подсчитали различные варианты выпадения очков и составили таблицу, которую впоследствии повторял (в другой форме) Паскаль. Он придал ей форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об арифметическом треугольнике», около 1654 г).

Под влиянием поднятых и рассматриваемых этими учеными вопросов решением тех же задач занимался и . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей вышла в печатном виде на двадцать лет раньше () издания писем Паскаля и Ферма ().

Важный вклад в теорию вероятностей внёс : он доказал в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине основной вклад внесли русские учёные , А. А. Марков и . В это время были доказаны , , а также разработана теория . Современный вид теория вероятностей получила благодаря у и его книге «Основные понятия теории вероятностей» (1936).

В результате, появившаяся некогда из игры теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из .

2.Основные теоретические сведения

Теория вероятностей - раздел математики , изучающий закономерности случайных явлений : , , их свойства и операции над ними.

Вероятностью называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Также вероятность случайного события А это число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Вероятность равна нулю, если благоприятных исходов нет вовсе (невозможное событие), а единице, если все исходы благоприятны (достоверное событие).

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого опыта следует:

найти число N всех возможных исходов данного опыта;
найти число N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А.

Однако иногда встречаются испытания с бесконечным числом исходов. Такая ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. В таком случае говорят о геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества В точек на прямой, плоскости или в пространстве - это отношение мер данных объектов.

Задача 1 : найдите вероятность того, что точка Х ближе к точке N, чем к M.

Решение: пусть точка О – середина отрезка MN. Наше событие наступит тогда, когда точка Х лежит внутри отрезка ON.

Тогда .

Ответ: 0.5

Таким образом, вероятность может быть вычислена как отношение длин двух отрезков.

2. Выберем на географической карте мира случайную точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в России? Очевидно, что для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих двух площадей и даст искомую вероятность.

Р(А) = S(A)/S(B) , где Р – вероятность, а S – площадь.

Задача 2 : внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6, 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри данного куба, ребро которого 3 см.

Решение: пусть событие Е – точка оказалась внутри куба с ребром, равным 3 см. Будем считать, что исходы испытания распределены равномерно. Тогда вероятность наступления события Е пропорциональна мере этого куба и равна P (E) = U куба / U параллелепипеда . Но объем куба равен 27 см 3 , а объем параллелепипеда – 240 см 3 . Следовательно, Р (Е) = 27/ 240 ≈ 0.113

Ответ: 0.113

! Типичная ошибка при решении задач на геометрическую вероятность – несоответствие размерностей. Часто при вычислении геометрической вероятности длину делят на площадь или площадь на объем. В таких случаях полезно проверять полученную формулу для вероятности на «безразмерность».

3.Задачи на нахождение геометрической вероятности

Задача 3 : точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ? (рис.1)

Решение: точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она принадлежит внутреннему квадрату со стороной равной 1 – 2* = .

Чтобы найти площадь фигуры, составляющей разницу между внутренним и внешним квадратами (G), нужно из площади всей фигуры (F) вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Ответ: 0.75

Задача 4: единичный интервал делится на три части двумя случайными точками. Чему равна вероятность того, что из получившихся отрезков можно построить треугольник?

Решение: необходимо найти вероятность того, что ни один из отрезков не превосходит суммы двух других. Для того, чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, точка, представляющая отрезки, должна лежать внутри треугольника, который получается соединением середин противоположных сторон треугольника (рис.2). Он имеет площадь, равную одной четверти большого треугольника, и, следовательно, вероятность равна одной четвертой.

Ответ: 0.25

Задача 5 : два студента условились встретиться в определенном месте между 12-ю и 13-ю часами. Пришедший первым ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение: пусть x - момент времени прихода первого студента, y - момент времени прихода второго студента. Тогда x, y € (определение того, что встреча произойдет между 12 и 13 часами, то есть в промежуток времени в 60 минут) - задает область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (определение того, что студент, пришедший первым, ждет второго не больше 20 минут) - задает область g. Тогда области, задаваемые неравенствами, будут выглядеть следующим образом (рис.2). Вероятность можно будет найти как отношение площадей двух областей g и G. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Ответ: 5/9

Задача 6: согласно правилам дорожного движения, пешеход может перейти улицу в неустановленном месте, если в пределах видимости нет пешеходных переходов. В городе Миргороде расстояние между пешеходными переходами на улице Солнечной равно 1 км. Пешеход переходит улицу Солнечную где-то между двумя переходами. Он может видеть знак перехода не дальше чем за 100 м от себя. Найдите вероятность того, что пешеход не нарушает правила.

Решение: воспользуемся геометрическим методом. Расположим числовую прямую так, что участок улицы между переходами окажется отрезком . Пусть пешеход подходит к улице в некоторой точке с координатой Х. Пешеход не нарушает правила, если он находится на расстоянии более чем 0,1 км от каждого перехода, т.е. 0,1 .

Ответ: 0.8

4.Проблемная задача

Задача 7 : в одном из лесных хозяйств Брянской области, представляющем собой прямоугольник a*b гектаров, вспыхнул пожар. Огнем охвачена часть леса, которая является кругом с радиусом, равным r. Найдите вероятность того, что жидкость, распыляемая пролетающим над лесом самолетом, попадет в область пожара.

Решение: Площадь леса равна а*b, площадь горящей области – r 2 . Тогда Р(А) = r 2 / а*b

Ответ: r 2 / а*b

Таким образом, знакомство с теорией вероятности помогло мне в решении проблемы. После составления и решения задачи 7, я могу сказать, что можно найти много вариантов практического применения геометрической вероятности.

Заключение

В результате проделанной работы я изучила новый для меня раздел математики «геометрическая вероятность» путем ознакомления с разнообразными литературными источниками, анализа информации и, непосредственно, решения задач. Применила полученные знания для решения интересующей меня проблемы. В дальнейшем можно продолжить изучение данной темы, т.к. существует множество заданий более высокого уровня сложности, например «Задача Сильвестра».

Некоторые аспекты данной работы могут быть использованы для подготовки к ГИА по математике, факультативным занятиям по теме «Геометрическая вероятность», подготовке к олимпиадам. Исследовательская работа является наглядным примером, демонстрирующим, что более глубокое изучение тем, не освещенных достаточно подробно в главах стандартного учебника, может быть не только интересным и познавательным, но также служить для решения каких-либо практических задач или нестандартных вопросов.

Литература

Е.А.Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» - Москва, «Педагогический университет «Первое сентября», 2005
М.Кендаль, П.Моран «Геометрические вероятности» - Москва, «Наука», 1972
Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова – «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе» - Москва, «Просвещение», 2011
А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник, часть 1. 11 класс» - Москва, «Мнемозина», 2009
А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва, «Педагогика», 1989
З.А.Скопец «Дополнительные главы по курсу математики» - Москва, «Просвещение», 1974
Л.А.Трофимова «План-конспект «Геометрическая вероятность»
А.Шень «Вероятность: примеры и задачи» - Москва, «Издательство МЦНМО», 2007
http://www.historydata.ru

Приложение

Задача 8: на окружности радиуса R случайно выбираются две точки. С какой вероятностью расстояние между ними будет меньше R?

Решение: расстояние меньше R значит, что хорда, соединяющая эти две точки, должна быть меньше R или меньше стороны вписанного шестиугольника. Зная центральный угол, равный 72˚ , найдем длину дуги, заключенной между двумя точками при хорде меньше радиуса. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0.2

Ответ: 0.2

Задача 9 : на отрезке АВ длины l независимо друг от друга выбираются наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка М окажется ближе к точке А, чем точка N?

Решение : пусть АМ = х, АN = y. Рассматриваемому событию будет благоприятствовать лишь те точки, которые удовлетворяют условию у>x. Множество всех возможных исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, геометрически изображается точками заштрихованного треугольника, т.к. координаты всех точек этого треугольника связаны соотношением у>x. Следовательно, искомая вероятность равна 0.5.

Ответ: 0.5

Задача 10: из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника (рис.4).

Решение: средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликих треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Ответ: 0.25

Задача 11: Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение: первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом (рис.5). Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Найдем площадь кольца: S кольца = *3 2 - *1 2 = 8 см 2 . Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек, либо пересекаются.

В этом случае область для попадания - прямоугольник с вырезанным кольцом. Найдем площадь этой фигуры S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Ответ: 0,95

Задача 12: 10 % поверхности шара (по площади) выкрашено в чёрный цвет, остальные 90% белые. Доказать, что можно вписать в шар куб так, чтобы все вершины попали в белые точки.

Решение : впишем куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар случайным образом . Тогда вероятность того, что данная вершина (например, вершина А) окажется чёрной, составляет 1/10. Вероятность того, что хотя бы одна их восьми вершин окажется чёрной, не превосходит 8/10 (объединение восьми событий вероятности 1/10). Значит, бывают случаи (они составляют по крайне мере 2/10 всех вариантов), когда все вершины белые.

Задача Сильвестра

Несколько более сложная задача носит название задачи Сильвестра. Она состоит в нахождении вероятности того, что четыре точки A, B, C, D, взятые случайно внутри выпуклой области, составляют выпуклый четырехугольник; это означает, что ни одна из точек не попадает в треугольник, образованный тремя другими.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

ТВ Случайным явлением

1. Классический

2. Стохастический основным факторам второстепенным

Событием

Различают достоверное невозможное случайное

Свойства вероятности:

<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными совместными

единственно-возможными

полную группу

противоположными .

Под отрицанием

частоте данного события

Теорема Бернулли по вероятности

Достоинством

Недостатками

Вероятность события

комбинаторики .

Сочетаниями из n по m называются соединения, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга составом элементов. Число сочетаний из n по m равно числу способов выбора m элементов из имеющихся n: , где n>m.

сочетаниями с повторениями : .

Размещениями

размещениями с повторениями : .

Перестановками

Основные понятия мат.статистики

Аналогом СВ из теории вероятности является признак Х в мат.статистике.

Множество всевозможных значений признака Х, позволяющее оценить параметры распределения, а также само распределение признака Х с исчерпывающей точностью, называют генеральной совокупностью.

Выборкой признака Х называют ограниченный объем стат.данных генеральной совокупности: ; - элементы выборки, n – объем выборки

Отбор выборочных данных из ген.совокупности – акт случайности ⇒ выборку можно рассмотреть как многомерную СВ. Значит, каждый элемент выборки – это СВ.

Закон распределения выборки и её элементов совпадает с законом распределения ген.совокупности, их которых она извлечена.

Основным св-ом выборки является её случайность. Это обеспечивает репрезентативность (представительность) выборки. В противном случае говорят об ошибке – презентативности.

Точечная оценка параметров распределения. Требования к функциям выборки.

Функцией выборки называется нек-я ф-ция, переводящая элементы выборки в числовое значение. Функция выборки используется для оценки параметров распределения, границ доверительного интервала и оценки статистики критерия. Т.к.элементы выборки случайны, то число полученное по функции выборки- также величина случайная. Точечной оценкой Qn (с тильдой наверху) параметра распределения Q наз-ся величина, характеризующая истинное значение параметра Q. Для оценки одного и того же параметра распределения можно составить несколько различных функций выборки. Требования : 1.состоятельности -оценка параметра при n стремящимся к бесконечности сходится по вероятности к истинному значению этого параметра. Записывается так и так . 2.несмещенности - мат.ожидание оценок параметров распределения = истинному значению этого параметра. Если это равенство выполняется прия любых n, то это абсолютная несмещенность; а если при n стремящемся к бесконечности то асимптотическая. 3.эффективности - эффективной называют ту функцию выборки (оценку), к-я обладает наименьшей дисперсией. , где в числителе -дисперсия исследуемой оценки, в знаменателе -дисперсия эффективной оценки. Чем ближе коэффициет эффективности e к 1, тем эффективнее исследуемая оценка. Если это условие выполняется при n стремящемся к бесконечности, то это ассимптотическая эффективность.

Гистограмма распределения.

Первое, что можно получить из всякой конкретной выборки Х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) – это начальное представление о законе распр-я. Осуществляется это путем построения так называемой гистограммы распр-я. Для этого опр-ся диапазон изменения возможных значений исследуемого признака (аналог СВ в ТВ) по имеющейся выборке Х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) – от x’=min{x i } до x”= max{x i }. Этот диапазон условно подразделяется на М интервалов – так называемых разрядов, или «карманов» гистограммы. Число М выбирается исследователем. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число М интервалов разбиения M . Если выбрать все разряды одинаковыми по ширине, то ширина разряда будет равняться: h= .

Затем для i-го разряда (i=1,2,…,M) подсчитывается число m i попавших в него значений СВ. Полученные значения m i или откладываются в масштабе по вертикали применительно к каждому разряду. Полученная таким образом гистограмма получила название гистограммы распределения признака Х:

На основе гистограммы получаем первичное представление о виде закона распр-я исследуемого признака. При этом выполняются условия: ; .

Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

ТВ - раздел математики, занимающийся изучением закономерностей в массовых случайных явлениях. Случайным явлением называют явление, обладающее след. свойствами: неопределенности исхода, возможности воспроизведения, возможности измерения исхода каждого события.

Для изучения случайных явлений используются 2 подхода:

1. Классический (детерменистский): закономерности случайных явлений определяются по основным факторам, чаще всего применяется в естественнонаучных исследованиях. Пренебрежение второстепенными факторами приводит к появлению элемента случайности в исследуемых явлениях.

2. Стохастический : используется в социально-экономических исследованиях, закономерности случайных явлений определяются как по основным, так и по второстепенным факторам. Полный учёт второстепенных факторов практически невозможен, поэтому результаты исследований носят вероятностный характер. К основным факторам относятся факторы, оказывающие сущ-ое влияние на исход испытания. К второстепенным относятся факторы с незнач. влиянием на исход испытания.

Элемент случайности в явлениях снижается: при воспроизведении большего числа второстепенных факторов, с ростом массовых явлений.

Событием называется всякий факт, который может (не)произойти при выполнении определенного комплекса условий (А, В,..., А 1 , А 2).

Различают достоверное (событие, которое наступает обязательно при выполнении комплекса условий), невозможное (событие, которое не может наступить при выполнении определенного комплекса условий) и случайное (все остальные события) событие.

Вероятностью события называется численная мера объективной возможности наступления этого события (Р(А), р 1 ,...).

Свойства вероятности:

вероятность достоверного события равна 1: Р(А)=1;

вероятность невозможного события равна 0: Р(В)=0;

вероятность случайного события определяется: 0<Р(С)<1.

Два события А и В называются несовместными (или), если наступление одного из них исключает наступление другого. События называются совместными (и), если они могут появиться одновременно в одном испытании.

События А 1 , А 2 ,...,А n называются единственно-возможными , если в результате испытания наступает хотя бы одно из этих событий.

События А 1 , А 2 ,...,А n образуют полную группу событий, если являются возможно-несовместными и единственно-возможными.

Два события, образующие полную группу называются противоположными .

Под отрицанием события понимают наступление противоположного события: А, .
2. Относительная частота события. Теорема Бернулли.

Вероятности событий, эксперименты по воспроизведению которых не обладают свойством симметрии исходов, определяются по частоте данного события или статистической вероятностью этого события.

Статистической вероятностью события А называется отношение числа экспериментов, в которых событие наступило, к общему числу экспериментов: W(A)=P*(A)=m/n, где n-общее число экспериментов, m-число, в которых наступило событие А.

Статистическая вероятность события - лишь оценка истинного значения вероятности этого события. Её использование возможно при выполнении след. условий:

1. Должны существовать возможности многократного воспроизведения экспериментов на предмет наступления события А при определенных условиях.

2 События должны обладать статистической устойчивостью или устойчивостью относительных частот.

3. Число экспериментов должно быть достаточно велико.

Теорема Бернулли : С ростом числа экспериментов, т.е. при n→¥, относительная частота события сходится по вероятности к истинному значению вероятности этого события: , .

Достоинством частотной схемы определения вероятности является широкий класс решаемых задач.

Недостатками являются: приближенное значение вероятности события; большие моральные, материальные и временные затраты для получения этой оценки.
3. Классическое определение вероятности события. Формулы комбинаторики.

Вероятность события - эксперимент, по воспроизведению которого можно разложить на равновозможные исходы равна: Р(А)=m/n, где n-общее число возможных исходов, m-число исходов, благоприятствующих событию А.

Для нахождения значения m и n используют формулы комбинаторики .

Если в сочетаниях выбираемые элементы могут повторяться, то их называют сочетаниями с повторениями : .

Размещениями из n по m называются соединения, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования: .

Если в размещениях элементы могут повторяться, то их называют размещениями с повторениями : .

Перестановками из n элементов называются соединения, состоящие из n элементов, и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов: .

Геометрическое определение вероятности события.

В случаях, когда исходы испытания равняются равновозможными, а их число бесконечным множеством, вероятность некоторых событий можно определить как отношение меры благоприятствующей области к мере области, т.е. P(A)=m(G)/n(S).

В качестве меры областей может выступать длина отрезка, площадь плоской фигуры или объем тела.

Вся область S и благоприятствующая область G должны быть замкнутыми и измеримыми.

Рассмотрим плоскую фигуру S, внутри которой появляется случайная точка. Выделим подобласти S 1 и S 2 . Событие A - случайно выбранная точка, окажется внутри заштрихованных областей S 1 и S 2 . P(A)=(S 1 +S 2)/S.
5. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей.

Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу событий.

Суммой 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении либо события А, либо события В: С=А+В.

Произведением 2-х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении как события А, так и В: С=A×B.

Под отрицанием события А понимают наступление противоположного ему события: .

Теорема сложения совместных событий : Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m способствуют наступлению события А, k благоприятствует событию В, l-число исходов, способствующих совместному наступлению А и В:

Р(А)=m/n, Р(В)=k/n, P(A×B)=l/n, А+В→m+k-l.

Р(А+В)=(m+k-l)/n=m/n+k/n–l/n= P(A+B)=P(A)+P(B)–P(A×B)■.

Теорема сложения несовместных событий : Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

□ Т.к. А и B–несовместные события, то A×B–невозможное событие:

P(A+B)=P(A)+P(B)–0=P(A)+P(B)■.

Следствие 1 : Сумма вероятностей событий, образованных полную группу событий=1: Р(А 1 , А 2 ,...,А n)=1.

□ Т.к. А 1 , А 2 ,...,А n образуют полную группу событий, то они попарно несовместно и является единственно возможными, тогда А 1 , А 2 ,...,А n –достоверное событие:

Р(А 1 , А 2 ,...,А n)= Р(А 1)+Р(А 2)+...+Р(А n)=1■.

Следствие 2 : Вероятность суммы противоположных событий=1: Р(А+ )=Р(А)+Р()=1.
6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Два события А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от наступления другого события, в противном случае события независимые (если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого).

Под условной вероятностью события А понимают вероятность этого события, вычисленную при условии, что событие В наступило: Р(А/В), Р В (А).

Теорема (зависимость события) умножения : Вероятность произведения 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события: P(A×B)=Р(А)×Р(В/А)=Р(В)×Р(А/В).

□ Пусть n-общее число возможных исходов, из них m благоприятствуют событию А, k-событию В, l-одновременно событию А и В:

Р(В/А)=l/m=(l/n)/(m/n)= P(A×B)/Р(А)=> P(A×B)=Р(А)×Р(В/А).

1 из m исходов наступил 1/m (событие А наступило), из этих m исходов l способствуют наступлению события:

Р(А/В)=l/k=(l/n)/(k/n)= P(A×B)/P(B)=> P(A×B)=Р(В)×Р(А/В)■.

Для n зависимых событий теорема умножения вероятностей примет вид:

Р(А 1 ×А 2 ×...×А n)=Р(А 1)×Р(А 2 /А 1)×Р(А 3 /А 1 ×А 2)×...×Р(А n /А 1 ×А 2 ×...×А n -1).

Р(А)=Р(А/В)=> А 1 ×В -независимые события, Р(А)≠Р(А/В)=> А 1 ×В -зависимые события.

7. Полная группа событий. Формула полной вероятности:

Набор событий H1, H2, …, Hn называется полной группой попарно несовместных событий если:

Пусть мы имеем полную группу несовместных событий H1, H2, …, Hn, определяющих варианты условий, в которых может осуществляться опыт по воспроизведению некоторого события А. Каждой гипотезе будет соответствовать своя условная вероятность события А: P(A/Hi), i=1,2,…,n.

Теорема: Если H1,H2,…,Hn – полная группа попарно несовместных событий, причем P(Hi) 0, i=1,2,…,n,то для любого события А имеет место равенство:

- формула полной вероятности.

8. Формула Байеса переоценки вероятностей гипотез. Ее практическое значение.

Одним из самых важных следствий формулы полной вероятности является формула Байеса.

, i=1,2,…,n.

Используя формулу Байеса, мы оцениваем вероятность того, какая из возможных причин в действительности имела место при условии, что событие А произошло.

Вероятности при -априорные вероятности. -апостериорные вероятности. Процесс решения задач по формуле полной вероятности и формуле Байеса можно представить виде граф.схемы типа дерева, кот имеет одну корневую и несколько корневых вершин, соединенных м/у собой звеньями.

9. Формула Бернулли и Пуассона:

Теорема Бернулли: если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pm,n того, то событие А наступит m раз в n независимых испытаниях Бернулли, равна:

, где q=1-p.

Формула Бернулли применяется при сравнительно небольших m и n.

Теорема Пуассона: Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремиться к 0 (p->0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n-> )/. Причем произведение np стремится к постоянному числу (), то вероятность того,что событие А появиться m раз n независимых испытаниях удовлетворяет предельному равенству.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область .
На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой , а ее площадь . В области содержится область площади (рис. 1.1). В область наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть - попадание брошенной точки в область , тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

. (1.5.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема V G , содержащую область g объема V g:

. (1.5.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G - через mes G (mes - первые три буквы французского слова mesure , что значит мера); обозначим буквой А событие "попадание брошенной точки в области g, которая содержится в области G". Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

. (1.5.3)

Пример 1. В круг вписан квадрат (рис 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Решение.

Введем обозначения: R - радиус круга, а - сторона вписанного квадрата, А - попадание точки в квадрат, S - площадь круга, S 1 - площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга . Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , поэтому площадь квадрата .
Полагая в формуле (1.5.1) , , находим искомую вероятность
.

Пример 2 . В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках O (0, 0), К (0, 1), L(1, 1), М (1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству > .

Решение.

Проведем прямую , она пересечет отрезок ML в точке N(1; 1/2). Эта прямая рассекает плоскость на две полуплоскости: для координат точек первой из них (верхней) будет вьmолняться неравенство у > х/2, для второй (нижней) - неравенство у < х/2.
Все точки, принадлежащие квадрату OКLM и координаты которых удовлетворяют неравенству у > х/2, находятся в многоугольнике OКLN . Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь S 1 =1/2 + 1/4 =3/4. Площадь S квадрата OКLM равна единице: S = 1. В соответствии с формулой (1.5.1), приняв , , найдем искомую вероятность
.

Пример 3. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а . На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l (l < а ). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

Решение.

Расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой обозначим через (рис. 1.4). Угол между отрезком и
лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с верхним концом отрезка, обозначим через . Очевидно, и . Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы или . Выражение "отрезок брошен наудачу" будем понимать так: точка (х,у) наудачу брошена на прямоугольник: , . Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , образуют фигуру, заштрихованную на рис 1.5.

Площадь этой фигуры .

Площадь всего прямоугольника есть . По формуле (1.5.1), приняв , , найдем искомую вероятность , где А - событие "отрезок пересекается хотя бы с одной прямой".
Пример 4. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение. Введем обозначения: событие А - "попадание точки в куб"; R - радиус шара, а - ребро куба, V - объем шара, V 1 - объем вписанного куба.
Как известно, . Поскольку и , то . В соответствии с формулой (1.5.2), приняв и , получим

Задачи

На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?
В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
В квадрат с вершинами O(0, 0 ), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенстау y > 2х?
В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в пирамиду.
Стержень длиной l произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?
На плоскости область G ограничена эллипсом , а область - этим эллипсом и эллипсом . В область брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область ?
В прямоугольник с вершинами К (-2, 0), L (-2, 5), М (1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (х, у) будут удовлетворять неравенствам ?
В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты , , этой точки будут удовлетворять неравенству ?
В прямоугольник С вершинами R(-2, 0), L(-2,9), М(4, 9), N(4, 0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам .
Область ограничена окружностью , а область - этой окружностью и параболой . В область брошена точка. Какова вероятность, что она окажется в области ?

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Считается, что в математике на любую задачу обязательно есть точный ответ. Однако, существует целый раздел математики, посвящённый изучению и описанию таких явлений и задач, точно определить результаты которых нельзя, явлений, в которых главенствует случайность. Этот раздел называется теория вероятностей.

В школьном курсе математики данная тема затрагивается поверхностно. В частности, даётся единственное, так называемое «классическое» определение вероятностей, которое применимо не всегда. В частности, с помощью классической вероятности нельзя решить даже относительно простую задачу о вероятности попадания в мишень.

В данной работе мы намерены рассмотреть другой вариант определения вероятностей - геометрическую вероятность - которая позволяет решать подобные задачи.

Цель работы: определить пользу геометрической вероятности при решении задач.

Задачи:

Дать определение геометрической вероятности.

Рассмотреть свойства геометрической вероятности.

Сопоставить полученные свойства со свойствами классической вероятности.

Рассмотреть применения геометрической вероятности при решении задач.

Определить ограничения на использование геометрической вероятности.

Актуальность работы заключается в том, что геометрическая вероятность может помочь определить, насколько вероятно то или иное явление в тех случаях, где классическая вероятность бессильна.

Глава 1. Определение геометрической вероятности

В 6 классе затрагивается (а в 9 - несколько углубляется) понятие вероятности. Вероятность можно определить по-разному. В большинстве учебников для школ даётся следующее определение вероятности:

Где - количество результатов, когда наступает событие, а - количество всех равновозможных результатов. Данное определение вероятности называется классическим .

Однако, оно применимо не всегда.

§ 1.1. Длины

Рассмотрим следующую задачу:

На отрезок наугад бросается точка. Данный отрезок разделён на промежутки . Чему равна вероятность попадания в отрезок }

Что такое геометрическая вероятность. Геометрическое определение вероятности события. Классическое определение вероятности

Предварительный просмотр:

Что такое геометрическая вероятность. Геометрическое определение вероятности события. Классическое определение вероятности