Урок «Применение производной при решении задач ЕГЭ. Производная в заданиях ЕГЭ Задания В9 и В15 Грук Любовь Владимировна учитель математики Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Салтыковская средняя общеобразовательная школа
Ртищевского района Саратовской области»
Мастер – класс по математике
в 11 классе
по теме
«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ»
Провела учитель математики
Белоглазова Л.С.
2012-2013 учебный год
Цель мастер – класса : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Производная функции» для решения задач единого государственного экзамена.
Задачи
Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме
«Производная функции», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.
Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).
Воспитательные: способствовать:
формированию у учащихся ответственного отношения к учению;
развитию устойчивого интереса к математике;
созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.
Технологии : индивидуально–дифференцированного обучения, ИКТ.
Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.
Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика, тренажёр (Приложение №1), презентация к уроку (Приложение №2), индивидуально – дифференцированные карточки для самостоятельной работы в парах (Приложение №3), список сайтов сети Интернет, индивидуально-дифференцированное домашнее задание (Приложение №4).
Пояснение к мастер - классу. Данный мастер – класс проводится в 11 классе с целью подготовки к ЕГЭ. Нацелен на применение теоретического материала по теме «Производная функции» при решении экзаменационных задач.
Продолжительность мастер – класса – 30 мин.
Структура мастер - класса
I .Организационный момент -1 мин.
II .Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности-1 мин.
III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ». Анализ работы с тренажёром - 6 мин.
IV .Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка - 7 мин.
V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5 ЕГЭ
3 мин.
VI .Оn – line тестирование. Анализ результатов тестирования - 9 мин.
VII . Индивидуально – дифференцированное домашнее задание -1 мин.
VIII .Оценки за урок - 1 мин.
IX .Итог урока. Рефлексия -1 мин.
Ход мастер - класса
I.Организационный момент.
II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности.
(Слайды 1-2,пр иложение №2)
Тема нашего занятия «Производная функции в заданиях ЕГЭ». Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.
Тема «Производная» представлена в заданиях части В (В8, В14) единого государственного экзамена. Некоторые задания С5 также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.
Вы работали с документами, регламентирующими структуру и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике 2013. Сделайте вывод о том, какие знания и умения вам нужны для успешного решения задач ЕГЭ по теме «Производная» .
(Слайды 3-4, п риложение №2)
Мы изучили «Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена»,
«Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников», «Спецификацию контрольных измерительных материалов», «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013» и выяснили, какие знания и умения о функции и её производной нужны для успешного решения задач по теме «Производная».
Необходимо
ЗНАТЬ
п равила вычисления производных;
производные основных элементарных функций;
геометрический и физический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
исследование функции с помощью производной.
УМЕТЬ
выполнять действия с функциями (описывать по графику поведение и свойства функции, находить её наибольшее и наименьшее значения).
ИСПОЛЬЗОВАТЬ
приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная». Сегодня мы будем УЧИТЬСЯ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕГЭ. ( Слайд 4, приложение №2)
Ведь недаром Аристотель говорил, что “УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ” ( Слайд 5, приложение №2)
В конце урока мы вернёмся к цели нашего занятия и выясним, достигли ли её?
III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ» (Приложение №1) . Анализ работы с тренажёром.
Выберите правильный ответ из четырёх предложенных.
В чём, по вашему мнению, заключается сложность выполнения задания В8?
Как вы думаете, какие типичные ошибки допускают выпускники на экзамене при решении этой задачи?
При ответах на вопросы задания В8 вы должны уметь описывать по графику производной поведение и свойства функции, а по графику функции – поведение и свойства производной функции. А для этого нужны хорошие теоретические знания по следующим темам: «Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Применение производной к исследованию функций».
Проанализируйте, какие задания вызвали у вас затруднения?
Какие теоретические вопросы вам необходимо знать?
IV . Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка. (Приложение №3)
Вспомните алгоритм решения задач (В14 ЕГЭ) на нахождение точек экстремума, экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной.
Решите задачи с помощью производной.
Перед учащимися поставлена проблема:
«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи В14 другим способом, без применения производной?»
1 пара (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)
1)В14. Найдите точку минимума функции у =10х-ln (х+9)+6
2)В14. Найдите наибольшее значение функции y =
- Попытайтесь решить вторую задачу двумя способами.
2 пара (Санинская Т., Сазанов А.)
1)В14. Найдите наименьшее значение функции у=(х-10) на отрезке
2)В14. Найти точку максимума функции у= -
(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач на доске. Учащиеся 1 пары (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) предоставляют два способа решения задачи №2).
Разрешение проблемы. Вывод, который должны сделать учащиеся:
«Некоторые задачи В14 ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».
Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?
Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?
V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5(ЕГЭ) (Слайды 7-8, приложение №2 )
Лукьяновой К. было дано индивидуальное домашнее задание: из пособий по подготовке к ЕГЭ выбрать задачу с параметром (С5) и решить её с помощью производной.
(Учащаяся приводит решение задачи, опираясь на функционально - графический метод, как один из методов решения задач С5 ЕГЭ и даёт краткое объяснение данного метода).
Какие знания о функции и её производной необходимы при решении задач С5 ЕГЭ?
V I. Оn – line тестирование по заданиям В8, В14. Анализ результатов тестирования.
Сайт для тестирования на уроке:
Кто не допустил ошибок?
Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?
В каких заданиях допущены ошибки?
Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?
VI I. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание
(Слайд 9, приложение №2 ), (Приложение №4).
Я подготовила список сайтов сети интернет для подготовки к ЕГЭ. Вы можете также проходить на этих сайтах О n – line тестирование. К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»;
2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» ( ) найти прототипы заданий В8 и В14 и решить не менее 10 задач;
3) Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачи с параметрами. Остальным учащимся решить задачи 1-8 (вариант 1).
VI II. Оценки за урок.
Какую оценку за урок ты бы себе поставил?
Как ты думаешь, можно было бы тебе работать на уроке лучше?
IХ. Итог урока. Рефлексия
Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?
Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.
Я почувствовал…
Я научился…
У меня получилось …
Я смог…
Я попробую …
Меня удивило, что …
Мне захотелось…
Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?
Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В8, В14), а Лукьянова К. выполнила задачу С5 с параметром, которая является задачей повышенной степени сложности.
Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.
Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» (Слайд 10, приложение №2).
Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!
Геометрический смысл производной Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство Уравнение прямой
Х у Если α 0. Если α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Если α 0. Если α > 90°, то k
Х у Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х =
Y x x0x На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0. Ответ: -0,25
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В =…
Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.
Запомним определение:
Производная - это скорость изменения функции.
На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается .
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.
Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция возрастает, ее производная положительна.
Если убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
| возрастает | точка максимума | убывает | точка минимума | возрастает | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :
В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется
В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Алгоритм выполнения:
- Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
- Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
Решение:
Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.
Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.
С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.
Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.
Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.
Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.
Второй вариант задания
| ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
| ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ
|
Решение:
Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.
Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.
Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.
Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.
Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.
Ответ: 3421.
Третий вариант задания
Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.
| ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
| ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ
|
Алгоритм выполнения для каждой из функций:
- Определить промежутки возрастания и убывания функций.
- Определить точки максимума и точки минимума функций.
- Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.
Решение:
Проанализируем график функции А.
Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.
Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.
Проанализируем график функции Б.
Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.
Проанализируем график функции В.
Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.
Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.
Ответ: 4213.
Вариант четырнадцатого задания 2017
На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
ТОЧКИ
А
В
С
D
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2
Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке - значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.
В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b ) положительный - то прямая возрастает, если же он отрицательный - то прямая убывает.
Возрастающих прямых у нас две - в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?
Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).
Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой - D, а k = 3 - A.
Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = - 4, а точке С - -1/2.
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(1)
На рисунке точками показаны объемы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж обогревателей .
Алгоритм выполнения
Анализируем части графика, соответствующие разным временам года. Формулируем ситуации, отображенные на графике. Находим для них наиболее подходящие варианты ответов.
Решение:
Зимой кол-во продаж превысило 120 шт./мес., причем оно все время увеличивалось. Эта ситуация соответствует варианту ответа №3. Т.е. получаем: А–3 .
Весной продажи постепенно упали со 120 обогревателей за месяц до 50. Наиболее приближенным к этой формулировке является вариант №2. Имеем: Б–2 .
Летом кол-во продаж не менялась и была минимальной. 2-я часть этой формулировки не отражена в ответах, а для первой подходит только №4. Отсюда имеем: В–4 .
Осенью продажи росли, однако их кол-во ни в одном из месяцев не превысило 100 штук. Эта ситуация описана в варианте №1. Получаем: Г–1 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(2)
На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.
Алгоритм выполнения
- Определяем цену деления на горизонтальной и на вертикальной шкале.
- Анализируем по очереди предложенные утверждения 1–4 из правой колонки («Характеристики»). Сопоставляем их с временными интервалами из левой колонки таблицы, находим пары «буква–число» для ответа.
Решение:
Цена деления горизонтальной шкалы составляет 1 с, вертикальной – 20 км/ч.
- Когда автобус делает остановку, его скорость равна 0. Нулевую скорость в течение 2 минут подряд автобус имел только с 9-й по 11-ю минуту. Это время попадает в интервал 8–12 мин. Значит, имеем пару для ответа: Б–1 .
- Скорость 20 км/ч и больше автобус имел в течение нескольких временных промежутков. Причем вариант А здесь не подходит, т.к., к примеру, на 7-й минуте скорость составляла 60 км/ч, вариант Б – потому что он уже применен, вариант Г – потому что в начале и конце промежутка автобус имел нулевую скорость. В данном случае подходит вариант В (12–16 мин); на этом промежутке автобус начинает движение со скоростью 40 км/ч, далее ускоряется до 100 км/м и потом постепенно снижает скорость до 20 км/ч. Итак, имеем: В–2 .
- Здесь установлено ограничение для скорости. При этом варианты Б и В мы не рассматриваем. Оставшиеся же интервалы А и Г подходят оба. Поэтому правильно будет рассмотреть сначала 4-й вариант, а потом снова вернуться в 3-му.
- Из двух оставшихся интервалов для характеристики №4 подходит только 4–8 мин, поскольку на этом промежутке остановка была (на 6-й минуте). На промежутке 18–22 мин остановок не было. Получаем: А–4 . Отсюда следует, что для характеристики №3 нужно взять интервал Г, т.е. получается пара Г–3 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(3)
На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая в этот период .
Алгоритм выполнения
- Определяем цену деления вертикальной шкалы рисунка. Находится она как разница пары соседних значений шкалы, деленная на 2 (т.к. между двумя соседними значениями имеется 2 деления).
- Анализируем последовательно приведенные в условии характеристики 1–4 (левая табличная колонка). Сопоставляем каждую из них с конкретным периодом времени (правая табличная колонка).
Решение:
Цена деления вертикальной шкалы составляет 0,01%.
- Падение прироста непрерывно продолжалось с 2004 по 2010 год. В 2010–2011 годах прирост был стабильно минимальным, и начиная с 2012 года оно начал увеличиваться. Т.е. остановка прироста произошла в 2010 году. Этот год находится в периоде 2009–2011 гг. Соответственно, имеем: В–1 .
- Наибольшим падением прироста следует считать самую «круто» падающую линию графика на рисунке. Она приходится на период 2006–2007 гг. и составляет 0,04%, за год (0,59–0,56=0,04% в 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% в 2007 г.). Отсюда получаем: А–2 .
- Указанный в характеристике №3 прирост начался с 2007 года, продолжился в 2008 г. и завершился в 2009 году. Это соответствует периоду времени Б, т.е. имеем: Б–3 .
- Прирост населения начал увеличиваться после 2011 г., т.е. в 2012–2013 гг. Поэтому получаем: Г–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(4)
На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами А,В,С и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
Алгоритм выполнения
- Рассматриваем пару касательных, имеющих острый угол с положит.направлением оси абсцисс. Сравниваем их, находим соответствие среди пары соответствующих значений производных.
- Рассматриваем пару касательных, образующих с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. Сравниваем их по модулю, определяем соответствие их значениям производных среди двух оставшихся в правой колонке.
Решение:
Острый угол с положит.направлением оси абсцисс образуют производные в т.В и т.С. Эти производные имеют положит.значения. Поэтому выбирать тут следует между значениями №№1 и 3. Применяя правило о том, что если угол меньше 45 0 , то производная меньше 1, а если больше, то больше 1, делаем вывод: в т.В производная по модулю больше 1, в т.С – меньше 1. Это означает, что можно составить пары для ответа: В–3 и С–1 .
Производные в т.А и т.D образуют с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. И тут применяем то же правило, немного перефразировав его: чем больше касательная в точке «прижата» к линии оси абсцисс (к отрицат. ее направлению), тем больше она по модулю. Тогда получаем: производная в т.А по модулю меньше, чем производная в т.D. Отсюда имеем пары для ответа: А–2 и D–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(5)
На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры .
Алгоритм выполнения
Анализируем последовательно характеристики 1–4 (правая колонка), используя график на рисунке. Ставим каждой из них в соответствие конкретный временной период (левая колонка).
Решение:
- Рост температуры наблюдался только в конце периода 22–28 января. Здесь 27 и 28 числа она повышалась соответственно на 1 и на 2 градуса. В конце периода 1–7 января температура была стабильной (–10 градусов), в конце 8–14 и 15–21 января понижалась (с –1 до –2 и с –11 до –12 градусов соответственно). Поэтому получаем: Г–1 .
- Поскольку каждый временной период охватывает 7 дней, то анализировать нужно температуру, начиная с 4-го дня каждого периода. Неизменной в течение 3–4 дней температура была только с 4 по 7 января. Поэтому получаем ответ: А–2 .
- Месячный минимум температуры наблюдался 17 января. Это число входит в период 15–21 января. Отсюда имеем пару: В–3 .
- Температурный максимум пришелся 10 января и составил +1 градус. Эта дата попадает в период 8–14 января. Значит, имеем: Б–4.
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(6)
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох..
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной
Алгоритм выполнения
- Значение функции в точке положительно, если эта точка расположена выше оси Ох.
- Производная в точке больше нуля, если касательная к этой точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох.
Решение:
Точка А. Она находится ниже оси Ох, значит значение функции в ней отрицательно. Если провести в ней касательную, то угол между нею и положит.направлением Ох составит около 90 0 , т.е. образует острый угол. Значит, в данном случае подходит характеристика №3. Т.е. имеем: А–3 .
Точка Б. Она находится над осью Ох, т.е. точка имеет положит.значение функции. Касательная в этой точке будет довольно близко «прилегать» к оси абсцисс, образуя тупой угол (немногим меньше 180 0) с положительным ее направлением. Соответственно, производная в этой точке отрицательна. Т.о., здесь подходит характеристика 1. Получаем ответ: В–1 .
Точка С. Точка расположена ниже оси Ох, касательная в ней образует большой тупой угол с положит.направлением оси абсцисс. Т.е. в т.С значение и функции, и производной отрицательно, что соответствует характеристике №2. Ответ: С–2 .
Точка D. Точка находится выше оси Ох, а касательная в ней образует с положит.направлением оси острый угол. Это говорит о том, что как значение функции, так и значение производной здесь больше нуля. Ответ: D–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(7)
На рисунке точками показаны объемы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников .
Алгоритм выполнения
- При необходимости найти кол-во холодильников за тот или иной период нужно определять их сумму за три месяца.
- Анализировать следует характеристики 1–4 (правая колонка), находя для каждой из них соответствие в виде временного периода (левая колонка).
Решение:
Анализируем характеристики:
- Меньше всего холодильников продано в начале и в конце года. Поэтому рассмотрим периоды январь–март и октябрь–декабрь. В январе–марте было продано примерно 250+250+300=800 холодильников, в октябре–декабре – примерно 350+200+100=650. Значит, здесь подходит все-таки последний период. Ответ: Г–1 .
- Длительный рост продаж наблюдался с апреля по июль. Это время охватывает полностью период апрель–июнь и захватывает начало следующего. Поэтому получаем: Б–2 .
- Тут тоже требуется найти сумму проданных единиц за целые периоды. Для 1-го и последнего периода она уже найдена (см.п.1). Считаем для 2-го и 3-го, получаем: 300+400+600=1300 – в апреле–июне, примерно 650+600+550=1800 – в июле–сентябре. К требуемым 800 холодильникам максимально приближен объем продаж в январе–марте. Поэтому имеем: А–3 .
- Одинаковое падение объема продаж означает, что разница между кол-вом проданных холодильников должна быть одинаковой. Падение продаж наблюдалось, начиная с конца июля. В августе падение составило 650–600=50 штук, в сентябре – 600–550=50 штук. Далее, в октябре, разница составила уже 550–350=200 холодильников, в ноябре 350–200=150, в декабре 200–100=100. Т.о., подходит в данном случаем период июль–сентябрь. Ответ: В–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(8)
На рисунке точками показан годовой объем добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – объем добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику добычи угля в этот период .
Алгоритм выполнения
- Точки, которые не приходятся на точные значения шкалы вертикальной оси, определяем приблизительно.
- Анализируем по очереди приведенные (в правом столбце) характеристики, используя данный график. Определяем соответствие каждой из них конкретного временного периода.
Анализируем характеристики:
- Объем добычи меньше 190 млн т приходился на период с 2001 года по 2005 год. Затем спад добычи зафиксирован в 2009 году, но один год не составляет периода. 2001–2005 годы полностью попадают в период А (2002–2004 гг.). Поэтому получаем ответ: А–1 .
- Такая формулировка «объем… сначала уменьшался, а затем начал расти» соответствует 2 периодам – 2002–2003 гг. и 2009–2010 гг. Но т.к. первый из этих периодов уже взят в качестве ответа, то правильно здесь использовать пару Г–2 .
- Ситуация, описанная в 3-й характеристике, наиболее точно отображена в периоде 2006–2008 гг. Именно в это время добыча сначала понемногу увеличивалась (примерно с 190 млн т до 210), а потом резко возросла до 250 млн т. Т.е. подходящий ответ здесь: 2006–2008 гг. и, соответственно, имеем: В–3 .
- Медленный рост следует искать в период, когда линия графика имеет наиболее пологий вид. Это: 2004–2006 год, что соответствует периоду Б, т.е. получаем: Б–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(9)
На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику температуры.
Алгоритм выполнения
Анализируем сначала очередную характеристику, а затем сопоставляем ее с конкретным временным интервалом.
Решение:
- Выше 60 0 температура была с 4-й по 7-ю минуту. Поэтому здесь нужно взять интервал 4–6 мин. Получаем: В–1 .
- Температура падала только после 7-й минуты. Соответственно, тут подходит интервал 7–9 мин. Ответ: Г–2 .
- Самый быстрый рост температуры происходил там, где график имеет наиболее «крутой» вертикальный подъем. Это имеет место только в 1-ю минуту нагревания. Т.е. подходящим интервалом является 0–1 мин. Ответ: А–3 .
- В пределах 40–50 0 С температура имела место, начиная со 2-й по 3-ю минуту. Значит, нужно выбрать интервал 2–3мин. Ответ: Б–4 .
Вариант четырнадцатого задания 2019 года(10)
На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси – частота пульса (в ударах в минуту).
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику пульса гимнаста на этом интервале.
Алгоритм выполнения
- Для анализа характеристики нужно использовать только 1-ю половину графика.
- Для точек графика, которые не попадают в «узлы» сетки рисунка (т.е. для которых невозможно определить точные значения), нужно определять значения приблизительно.
- Величина роста пульса связана с пологостью (или, напротив, крутизной) линии графика. Это означает, что чем большее изменение значения функции происходит за тот или иной (но обязательно одинаковый) промежуток времени, тем больше величина роста.
Решение:
Анализируем предложенные характеристики:
- Если частота пульса сначала падала, а затем росла, то на графике это должно выразиться в «прогибе» линии графика вниз. Такая кривизна наблюдается только в течение 3–4 минуты. Значит, получаем ответ: Г–1 .
- Самый большой «подъем» линии на 1-й половине графика имеет место с 1-й по 2-ю минуту. Отсюда получаем: Б–2 .
- Частота пульса падала, начиная со 2-й минуты. В течение 3–4 минут тоже наблюдалось падение, однако оно потом перешло в рост. Поэтому правильным здесь следует считать интервал В. Т.о., ответ: В–3 .
- Единственный интервал, на котором частота не превысила 100 ударов, – 0–1 мин. Отсюда имеем ответ: А–4 .
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f"(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.